定態

設想經典力學裏的諧振子 系統（A-B），一條彈簧的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在量子力學裏， （C-H）展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。

描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數機率幅的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 $\psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}$ 。

在量子力學裏，定態（stationary state）是一種量子態，定態的機率密度與時間無關。以方程式表式，定態的機率密度對於時間的導數為

$\frac{d}{dt}|\Psi(x,\,t)|^2=0$ ；

其中，$\Psi(x,\,t)$ 是定態的波函數，$x$ 是位置，$t$ 是時間 。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ ；

其中，$\hbar$ 是約化普朗克常數，$m$ 是質量，$V(x)$ 是位勢。

這個方程式有一個定態的波函數解：

$\Psi(x,\,t)=\psi(x)e^{ - iEt/\hbar}$ ；

其中，$\psi(x)$ 是 $\Psi(x,\,t)$ 的不含時間部分，$E$ 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間關係：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+V\psi=E\psi$ 。

這是一個不含時薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 $E$ 與伴隨的本徵函數 $\psi_E(x)$ 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 $E$ ，波函數 $\psi(x)$ 是定態薛丁格方程式的本徵函數 $\psi_E(x)$ 。

機率密度與時間無關

雖然定態 $\Psi(x,\,t)$ 很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：

$|\Psi(x,\,t)|^2=|\psi(x)|^2$ 。

所以，定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如，位置的期望值 $\langle x\rangle$ 是

$\begin{align}\langle x\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\,dx \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\Psi(x,\,t)|^2\,dx \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\psi(x)|^2\,dx \\ \end{align}$ 。

再舉一例，動量的期望值 $\langle p\rangle$ 是

$\begin{align}\langle p\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,\,t)\,dx \\ & =\frac{\hbar}{i} \int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x)e^{iEt/\hbar} \frac{\partial}{\partial x}(\psi(x)e^{ - iEt/\hbar})\,dx \\ & =\frac{\hbar}{i}\int_{ - \infty}^{\infty}\,\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\,dx \\ \end{align}$ 。

所以，$\langle x\rangle$ 和 $\langle p\rangle$ 都與時間無關。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 $f(x,\,p)$ ，期望值 $\langle f(x,\,p)\rangle$ 必然與時間無關。

參閱

• 純態
• 混合態
• 基態
• 激發態
• 束縛態
• 真空態
• 相干態
• 簡併態

參考文獻

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.