定態

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在量子力學裏，定態是一種量子態，定態的機率密度不相依於時間。用方程式表達，

$\frac{d}{dt}|\Psi(x,\,t)|^2=0\,\!$ ；

其中，$\Psi(x,\,t)\,\!$ 是定態的波函數，相依於位置 $x\,\!$ 與時間 $t\,\!$ 。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式為

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi\,\!$ ；

其中，$\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數，$m\,\!$ 是質量，$V(x)\,\!$ 是只相依於位置的位勢。

這個方程式有一個定態的波函數解：

$\Psi(x,\,t)=\psi(x)e^{ - iEt/\hbar}\,\!$ ；

其中，$\psi(x)\,\!$ 是 $\Psi(x,\,t)\,\!$ 不相依於時間的部分，$E\,\!$ 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式，則可除去時間的相依：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+V\psi=E\psi\,\!$ 。

這是一個不含時薛丁格方程式，又稱為定態薛丁格方程式，可以用來求得本徵能量 $E\,\!$ 與伴隨的本徵函數 $\psi_E(x)\,\!$ 。定態的能量都是明確的，是定態薛丁格方程式的本徵能量 $E\,\!$ ，波函數 $\psi(x)\,\!$ 是定態薛丁格方程式的本徵函數 $\psi_E(x)\,\!$ 。

機率密度不相依於時間

雖然定態 $\Psi(x,\,t)\,\!$ 很明顯的相依於時間。相依的部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目：

$|\Psi(x,\,t)|^2=|\psi(x)|^2\,\!$ 。

所以，定態的機率密度不相依於時間。一個直接的後果就是期望值也都不相依於時間。例如，位置的期望值 $\langle x\rangle\,\!$ 是

$\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\,dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\Psi(x,\,t)|^2\,dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\psi(x)|^2\,dx\,\!$ 。

再舉一例，動量的期望值 $\langle p\rangle\,\!$ 是

$\begin{align}\langle p\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,\,t)\,dx=\frac{\hbar}{i} \int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x)e^{iEt/\hbar} \frac{\partial}{\partial x}(\psi(x)e^{ - iEt/\hbar})\,dx \\ & =\frac{\hbar}{i}\int_{ - \infty}^{\infty}\,\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\,dx \\ \end{align}\,\!$

所以，$\langle x\rangle\,\!$ 和 $\langle p\rangle\,\!$ 都不相依於時間。一般而言，給予任意一個位置與動量的函數 $f(x,\,p)\,\!$ ，期望值 $\langle f\rangle\,\!$ 必不相依於時間。

參閱

• 純態
• 混合態
• 基態
• 受激態
• 束縛態
• 真空態
• 相干態
• 簡併態

參考文獻

• Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.