歸一條件

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在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件，也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於 $1\,\!$ 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

$\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1\,\!$ ;

其中，$x\,\!$ 是粒子的位置，$\psi(x)\,\!$ 是波函數。

假若，在給予的區間內，一個薛丁格方程的解答，不是有限積分，則這解答不是一個真實的物理解答。我們不能接受此解答。例如，歸一條件使我們不能採用週期函數為無限區間的解答；週期性函數只能用於有限區間的問題。

歸一化導引

一般而言，波函數 $\psi\,\!$ 是一個複函數。可是，$\psi^* \psi = \mid \psi \mid ^2\,\!$ 是一個實函數，大於或等於 $0\,\!$ ，稱為機率密度函數。所以，在區域 $[x,\ x+\Delta x]\,\!$ 內，找到粒子的機率 $\Delta P\,\!$ 是

$\Delta P =\mid \psi \mid ^2 \Delta x\,\!$ ；(1) 。

既然粒子存在於空間，機率是 $1\,\!$ 。所以，積分於整個一維空間：

$P= \int_{ - \infty}^{\infty} \mid \psi \mid ^2 dx = 1 \,\!$ 。(2)

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數 $\psi\,\!$ ，其機率 $P\,\!$ 是有限的，但不等於 $1\,\!$ ，我們可以將波函數 $\psi\,\!$ 乘以一個常數，使機率 $P\,\!$ 等於 $1\,\!$ 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，我們可以設定這任意常數的值，使機率 $P\,\!$ 等於 $1\,\!$。

實例

在一維空間內，束縛於區域 $[0,\ \ell]\,\!$ 內的一個粒子，其波函數是

$\psi (x,\ t) = \begin{cases} Ae^{i(kx - \omega t)}, & 0\le x \le \ell \\ 0, & elsewhere \end{cases}\,\!$ ；

其中，$k\,\!$ 是波數，$\omega\,\!$ 是角頻率，$A\,\!$ 是任意常數。

我們必須求 能夠使波函數歸一化 的任意常數值 $A\,\!$ 。將波函數代入：

$\mid \psi \mid ^2 = A^2 e^{i(kx - \omega t)} e^{ - i(kx - \omega t)} =A^2 \,\!$ 。

積分於整個粒子存在的區域：

$\int_{0}^{\ell} A^2 dx= 1\,\!$ 。

稍加運算，

$A^2 \ell = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )\,\!$ 。

歸一化的波函數是：

$\psi (x,t) = \begin{cases} \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )e^{i(kx - \omega t)}, & 0 \le x \le \ell \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}\,\!$ 。

形式不變的薛丁格方程

薛丁格方程為

$\frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi (x) = E \psi (x)\,\!$ ；

其中，$\hbar\,\!$ 是約化普朗克常數，$V(x)\,\!$ 是位勢，$E\,\!$ 是能量。

將波函數 $\psi\,\!$ 歸一化，替換為 $\psi\,'=A\psi\,\!$ 。則薛丁格方程成為

$\frac{ - \hbar^2}{2m} A\frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) A \psi(x) = E A \psi(x)\,\!$

$\Rightarrow A \left ( \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) \right ) = A \left ( E \psi(x) \right )\,\!$

$\Rightarrow \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)\,\!$ 。

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 $\psi\,\!$ 和 $\psi\,'\,\!$ 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。使用沒有歸一化的波函數，我們只能知到機率的相對大小；使用歸一化的波函數，我們可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

歸一化恆定性

給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，我們勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 $A\,\!$ 變的相依於時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 $\psi(x,\ t)\,\!$ 滿足薛丁格方程與歸一條件：

$\frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V(x) \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}\,\!$ ，

$P=\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*\psi\ dx=1\,\!$ ；

假若，歸一性是恆定的，則機率 $P\,\!$ 不相依於時間。為了顯示這一點，讓我們先計算 $\frac{dP}{dt}\,\!$ ：

$\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t))\ dx\,\!$ 。

展開被積函數

$\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)=\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi+\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}\,\!$ 。

編排薛丁格方程，可以得到波函數 $\psi\,\!$ 隨時間的偏導數：

$\frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V(x) \psi \,\!$ 。

共軛波函數 $\psi^*\,\!$ 隨時間的偏導數為

$\frac{\partial \psi^*}{\partial t}= \frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* \,\!$ 。

將 $\psi\,\!$ 與 $\psi^*\,\!$ 代入被積函數

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) & = \left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{i}{\hbar}V(x) \psi \right) \\ & =\left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) \\ & =\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\frac{\partial}{\partial x}\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\right)\\ \end{align}\,\!$。

代入 $\frac{dP}{dt}\,\!$ 的方程式:

$\frac{dP}{dt}=\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\left[\left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\right)\right|_{\infty} - \left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\right)\right|_{ - \infty}\right]\,\!$ 。

可是，在 $x=\pm \infty\,\!$ ，$\psi\,\!$ 與 $\psi^*\,\!$ 都等於 0 ．所以，

$\frac{dP}{dt}=0\,\!$ 。

機率 $P=1\,\!$ 不相依於時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻

• Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004:  pp. 12-14. ISBN 0-13-111892-7. 

參閱

• 正則變換

外部連結

Middlebury 大學講義：歸一化