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歸一條件

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量子力學裏,表達粒子量子態波函數必須滿足歸一條件,也就是說,在空間內,找到粒子的機率必須等於 1 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達,

\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x)\psi(x)\ dx=1 ;

其中,x 是粒子的位置,\psi(x) 是波函數。

歸一化導引[编辑]

一般而言,波函數 \psi 是一個複函數。可是,\psi^* \psi =  \mid \psi  \mid ^2 是一個實函數,大於或等於 0 ,稱為機率密度函數。所以,在區域 [x,\ x+\Delta x] 內,找到粒子的機率 \Delta P

\Delta P =\mid \psi  \mid ^2 \Delta x(1)

既然粒子存在於空間,機率是 1 。所以,積分於整個一維空間:

P= \int_{ - \infty}^{\infty} \mid \psi  \mid ^2 dx = 1 (2)

假若,從解析薛丁格方程而得到的波函數 \psi ,其機率 P 是有限的,但不等於 1 ,則可以將波函數 \psi 乘以一個常數,使機率 P 等於 1 。或者,假若波函數內,已經有一個任意常數,可以設定這任意常數的值,使機率 P 等於 1

實例[编辑]

在一維空間內,束縛於區域 [0,\ \ell] 內的一個粒子,其波函數是

\psi (x,\ t) = \begin{cases} Ae^{i(kx - \omega t)}, & 0\le x \le  \ell \\ 0, &  elsewhere \end{cases}

其中,k波數\omega角頻率A 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 A 。將波函數代入:

 \mid \psi  \mid ^2 = A^2 e^{i(kx - \omega t)} e^{ - i(kx - \omega t)} =A^2

積分於整個粒子存在的區域:

\int_{0}^{\ell} A^2 dx= 1

稍加運算,

A^2 \ell = 1 \qquad \Rightarrow \qquad A = \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )

歸一化的波函數是:

 \psi (x,t) = \begin{cases} \left ( \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right )e^{i(kx - \omega t)}, & 0 \le x \le  \ell \\ 0, &  \text{elsewhere} \end{cases}

薛丁格方程的形式不變[编辑]

薛丁格方程為

 \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi (x) = E \psi (x)

其中,\hbar約化普朗克常數V(x)位勢E能量

將波函數 \psi 歸一化為 \psi\,'=A\psi 。則薛丁格方程成為

 \frac{ - \hbar^2}{2m} A\frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) A \psi(x) = E A \psi(x)
 \Rightarrow  A \left ( \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) \right ) = A \left ( E \psi(x) \right )
 \Rightarrow \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)

薛丁格方程的形式不變。對於歸一化,薛丁格方程是個不變式,因為薛丁格方程是個線性微分方程式

一個表達粒子量子態的波函數,必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 \psi\psi\,' 都能夠滿足同樣的薛丁格方程,它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數,則只能知道機率的相對大小;否則,使用歸一化的波函數,可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析,會提供許多便利。

歸一化恆定性[编辑]

給予一個歸一化的波函數.隨著時間的變化,波函數也會改變.假若,隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件,則勢必要重新將波函數歸一化.這樣,歸一常數 A 變得含時間.很幸運地,滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的.設定波函數 \psi(x,\ t) 滿足薛丁格方程與歸一條件:

 \frac{ - \hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} + V(x) \psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
P=\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*\psi\ dx=1

假若,歸一性是恆定的,則機率 P 不含時間。為了顯示這一點,先計算 \frac{dP}{dt}

\frac{dP}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty} \psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*(x,\ t)\psi(x,\ t))\ dx

展開被積函數

\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)=\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\psi+\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}

編排薛丁格方程,可以得到波函數 \psi 對於時間的偏導數:

\frac{\partial \psi}{\partial t}= \frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} -  \frac{i}{\hbar}V(x) \psi

共軛波函數 \psi^* 對於時間的偏導數為

\frac{\partial \psi^*}{\partial t}= \frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial  x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^*

\psi\psi^* 代入被積函數

\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) & = \left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial  x^2}+\frac{i}{\hbar}V(x) \psi^* \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} -  \frac{i}{\hbar}V(x) \psi \right) \\ 
  & =\left(\frac{ - i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial  x^2} \right)\psi+\psi^*\left(\frac{ i \hbar}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial  x^2} \right) \\
  & =\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\frac{\partial}{\partial  x}\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial  x} -  \frac{\partial \psi^*}{\partial  x}\psi\right)\\ \end{align}

代入 \frac{dP}{dt} 的方程式:

\frac{dP}{dt}=\left(\frac{ i \hbar}{2m} \right)\left[\left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial  x} - \frac{\partial \psi^*}{\partial  x}\psi\right)\right|_{\infty} - \left.\left(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial  x} -  \frac{\partial \psi^*}{\partial  x}\psi\right)\right|_{ - \infty}\right]

可是,在 x=\pm \infty\psi\psi^* 都等於 0 .所以,

\frac{dP}{dt}=0

機率 P=1 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 

參閱[编辑]

外部連結[编辑]

Middlebury 大學講義:歸一化