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正則變換

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。

哈密頓力學裏,正則變換(canonical transformation)是一種正則坐標的改變,(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}),而同時維持哈密頓方程的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式刘维尔定理的基礎。

定義[编辑]

點變換point transformation)將廣義坐標\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)變換成廣義坐標\mathbf{Q}=(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N),點變換方程式的形式為

q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N

其中,t時間

哈密頓力學裏,由於廣義坐標與廣義動量\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)同樣地都是自變數independent variable),點變換的定義可以加以延伸,使變換方程式成為

q_i=q_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N
p_i=p_i(Q_1,\ Q_2,\ \dots,\ Q_N,\ P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad\qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N

其中,\mathbf{P}=(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_N)是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換,稱前一種點變換為位形空間點變換,而後一種為相空間點變換

哈密頓力學裏,正則變換將一組正則坐標(\mathbf{q},\ \mathbf{p})變換為一組新的正則坐標(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}),而同時維持哈密頓方程式的形式(稱為形式不變性)。原本的哈密頓方程式為

\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}
\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}

新的哈密頓方程式為

\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}
\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}

其中,\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處[编辑]

思考一個物理系統的哈密頓量

\mathcal{H}=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標q_i無關,則稱q_i可略坐標ignorable coordinate),或循環坐標cyclic coordinate):

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0

在哈密頓方程式中,廣義動量對於時間的導數是

\dot{p}_i= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}=0

所以,廣義動量p_i是常數k_i

假設一個系統裏有n個廣義坐標是可略坐標。找出這n個可略坐標,則可以使這系統減少2n個變數;使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法[编辑]

主項目:正則變換生成函數

採取一種間接的方法,稱為生成函數方法,從(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ \mathcal{H}) 變換到(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ \mathcal{K})。為了要保證正則變換的正確性,第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0
\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0

那麼,必須令

\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}

其中,\sigma標度因子G生成函數

假若一個變換涉及標度因子,則稱此變換為標度變換scale transformation)。一般而言,標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1,則稱此正則變換為延伸正則變換extended canonical transformation);假若標度因子等於1,則稱為正則變換

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個\sigma \ne 1的延伸正則變換表示為

\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}

則可以設定另外一組變數與哈密頓量: \mathbf{Q}=\alpha \mathbf{Q}'\mathbf{P}=\beta \mathbf{P}'\mathcal{K}=\alpha\beta\mathcal{K}\,'G=\alpha\beta G\,';其中,\alpha,\ \beta是用來刪除\sigma的常數,\sigma=\frac{1}{\alpha\beta}。經過一番運算,可以得到

\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}=\alpha\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{P}'}=\alpha\dot{\mathbf{Q}}'=\dot{\mathbf{Q}}
\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}=\beta\frac{\partial \mathcal{K}\,'}{\partial \mathbf{Q}'}= - \beta\dot{\mathbf{P}}'= - \dot{\mathbf{P}}
\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}=\alpha\beta(\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt})=\mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}+\frac{dG}{dt}(1)

顯然地,這變換符合哈密頓方程式。所以,任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間,則稱為設限正則變換restricted canonical transformation)。

生成函數G的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})保證是正則變換。

第一型生成函數[编辑]

第一型生成函數G_{1}只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

G=G_{1}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)

代入方程式(1)。展開生成函數對於時間的全導數

\mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}}  - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) =
\mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P}, t) + \frac{\partial G_{1}}{\partial t} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} \cdot \dot{\mathbf{q}} + \frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} \cdot \dot{\mathbf{Q}}

新廣義坐標\mathbf{Q}和舊廣義坐標\mathbf{q}都是自變量,其對於時間的全導數\dot{\mathbf{Q}}\dot{\mathbf{q}}互相無關,所以,以下2N+1個方程式都必須成立:

\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}}(2)
\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}}(3)
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{1}}{\partial t}(4)

2N+1個方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}),步驟如下:

第一組的N個方程式(2),設定了\mathbf{p}N個函數方程式

\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)

在理想情況下,這些方程式可以逆算出\mathbf{Q}N個函數方程式

\mathbf{Q}=\mathbf{Q}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)(5)

第二組的N個方程式(3),設定了\mathbf{P}N個函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t)

代入函數方程式(5),可以算出\mathbf{P}N個函數方程式

\mathbf{P}=\mathbf{P}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)(6)

2N個函數方程式(5)、(6),可以逆算出2N個函數方程式

\mathbf{q}=\mathbf{q}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)
\mathbf{p}=\mathbf{p}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)

代入新哈密頓量\mathcal{K}的方程式(4),可以得到

\mathcal{K} =\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)

第二型生成函數[编辑]

第二型生成函數G_{2}的參數是舊廣義坐標\mathbf{q}、新廣義動量\mathbf{P} 與時間:

G = - \mathbf{Q}\cdot\mathbf{P}+G_{2}(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)

以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})

\mathbf{p} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{q}}, 
\mathbf{Q} = \frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}}
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{2}}{\partial t}

第三型生成函數[编辑]

第三型生成函數G_{3} 的參數是舊廣義動量\mathbf{p}、新廣義坐標\mathbf{Q}與時間:

G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} + G_{3}(\mathbf{p}, \mathbf{Q}, t)

以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})

\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{p}}
\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{3}}{\partial \mathbf{Q}}
\mathcal{K} = \mathcal{H} + \frac{\partial G_{3}}{\partial t}

第四型生成函數[编辑]

第四型生成函數G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)的參數是舊廣義動量\mathbf{p}、新廣義動量\mathbf{P}與時間:

G = \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} - \mathbf{Q} \cdot \mathbf{P} + G_{4}(\mathbf{p}, \mathbf{P}, t)

以下2N+1方程式設定了變換(\mathbf{q},\ \mathbf{p}) \rightarrow (\mathbf{Q},\ \mathbf{P})

\mathbf{q} = -\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{p}}
\mathbf{Q} = ~~\frac{\partial G_{4}}{\partial \mathbf{P}}
\mathcal{K}= \mathcal{H} + \frac{\partial G_{4}}{\partial t}

實例1[编辑]

第一型生成函數有一個特別簡易案例:

G_{1} = \mathbf{q} \cdot \mathbf{Q}

生成函數的導數分別為

\mathbf{p} = ~~\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{Q}
\mathbf{P} = -\frac{\partial G_{1}}{\partial \mathbf{Q}} = -\mathbf{q}

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同:

\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)=\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)

實例2[编辑]

再擧一個比較複雜的例子。讓

G_{2} \equiv \mathbf{g}(\mathbf{q};\ t) \cdot \mathbf{P}

這裏,\mathbf{g}是一組N個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

\mathbf{Q}=\frac{\partial G_{2}}{\partial \mathbf{P}} =\mathbf{g}(\mathbf{q};\ t)

不變量[编辑]

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變;哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外,正則變換也有幾個重要的不變量

辛條件[编辑]

辛標記提供了一種既簡單,又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個2N\times 1的豎矩陣\boldsymbol{\xi} :

\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]

變數向量\boldsymbol{\xi}\mathbf{q}\mathbf{p}包裝在一起。這樣,哈密頓方程式可以簡易的表示為

\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}

這裏,\boldsymbol{\Omega}是辛連結矩陣、\mathcal{H}是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換,正則坐標會從舊正則坐標\boldsymbol{\xi}改變成新正則坐標\boldsymbol{\Xi}\boldsymbol{\xi} \rightarrow \boldsymbol{\Xi};哈密頓量也從舊的哈密頓量\mathcal{H}改變成新的哈密頓量\mathcal{K}\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K};但是,哈密頓方程式的形式仍舊維持不變:

\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}

這裏,\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{dG}{dt}+\mathbf{P}\dot{\mathbf{Q}} - \mathbf{p}\dot{\mathbf{q}}

用第一型生成函數G=G_1(\mathbf{q},\ \mathbf{Q},\ t),則\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}

\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\Xi}(\boldsymbol{\xi},\ t)關於時間t的導數,

\dot{\boldsymbol{\Xi}}=\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}

這裏,\mathbf{M}亞可比矩陣M_{ij}=\frac{\partial \Xi_i}{\partial \xi_j}

代入哈密頓方程式,

\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}+\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial t}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}+\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial^2 G_1}{\partial \boldsymbol{\Xi}\ \partial t} ;

假若限制正則變換為設限正則變換,也就是說,顯性地不含時間,解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間,則仍舊能得到與下述同樣的答案[1],這是一個很好的偏導數習題。現在,限制這正則變換為設限正則變換,則簡化後的方程式為

\mathbf{M}\dot{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}

\mathcal{H}=\mathcal{H}(\boldsymbol{\xi}),所以,

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\frac{\partial \boldsymbol{\xi}}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}=(\mathbf{M}^{-1})^T\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \boldsymbol{\xi}}= - (\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}\dot{\boldsymbol{\xi}}

代回前一個方程式,取\dot{\boldsymbol{\xi}}的係數,則可以得到

\mathbf{M}= - \boldsymbol{\Omega}(\mathbf{M}^{-1})^T\boldsymbol{\Omega}

經過一番運算,

\mathbf{M}^T= - \boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}\boldsymbol{\Omega}
\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}=\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}^{-1}

可以求出辛條件:

\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}

在這裏,得到了正則變換的辛條件:一個變換是正則變換,若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量[编辑]

相空间裏,兩個函數 f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})關於正則坐標\mathbf{q},\ \mathbf{p}帕松括號定義為

\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)

用辛標記,

\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}

立刻,可以得到下述關係:

\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0
\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}

定義基本帕松括號\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]為一個方矩陣,其中,元素ij的值是\big[\xi_i,\ \xi_j\big]。那麼,

\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}

思考一個變換\boldsymbol{\xi}\rightarrow \boldsymbol{\Xi}。新坐標的基本帕松括號為

\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}

這兩個正則坐標的亞可比矩陣M

M=\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}

代入前一個方程式,則

\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}

假若這變換是正則變換,辛條件\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}必須成立,

\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}

相反地,假若\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega},則辛條件成立,這變換是正則變換。

所以,一個變換是正則變換,若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時,我們可以忽略下標符號,直接表示為\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big],而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量[编辑]

思考兩個函数f,\ g對於正則坐標\boldsymbol{\xi}的泊松括號

\begin{align}\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}  \\
& = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\ 
& = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ _\circ \\ \end{align}

假若這變換是正則變換,辛條件\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}=\boldsymbol{\Omega}必須成立,

\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}

所以,任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號,都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時,可以忽略下標符號,直接表示為\big[f,\ g\big],而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 (English).