正則變換
表示；而其大小則用 
來表示。在哈密頓力學裏，正則變換是一種正則坐標的改變，
，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。
目录 |
定義 [编辑]
點變換(point transformation)將廣義坐標 
變換成廣義坐標 
，點變換方程式的形式為
；
；其中，
是時間。
在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量 
同樣地都是自變數(independent variable)，點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為
，
；
，
；其中，
是新的廣義動量。
為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。
在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標 
變換為一組新的正則坐標 
，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為
，
；
，
；新的哈密頓方程式為
，
；
，
；其中，
、
分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。
實際用處 [编辑]
思考一個物理系統的哈密頓量
。
。假設哈密頓量不相依於其中一個廣義坐標 
，則稱 為可略坐標(ignorable coordinate)，或循環坐標(cyclic coordinate)：
。
。在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是
。
。所以，廣義動量 
是常數 
。
假設一個系統裏有 
個廣義坐標是可略坐標。找出這 個可略坐標，則可以使這系統減少 
個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。
生成函數方法 [编辑]
- 主項目：正則變換生成函數
採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從 
變換到 
。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理
![\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0\,\!](//upload.wikimedia.org/math/4/c/c/4cc0ebff8b87e80b6bd8573c42ee60c3.png)
、
![\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\right]dt=0\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/4/c/c/4cc0ebff8b87e80b6bd8573c42ee60c3.png)
、![\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0\,\!](//upload.wikimedia.org/math/2/7/b/27bdcf6d5bcdc893be55d50601eacccc.png)
。
![\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[ \mathbf{P}\cdot\dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) \right]dt=0\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/2/7/b/27bdcf6d5bcdc893be55d50601eacccc.png)
。那麼，必須令
![\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/d/d/7/dd7e10e4e03fb21905e1ba02ed1ea831.png)
；
![\sigma \left[ \mathbf{p} \cdot \dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t) \right] = \mathbf{P} \cdot \dot{\mathbf{Q}} - \mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) + \frac{dG}{dt}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/d/d/7/dd7e10e4e03fb21905e1ba02ed1ea831.png)
；其中，
是標度因子，
是生成函數。 假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換(scale transformation)。一般而言，標度因子不一定等於 1 。假若標度因子不等於 1 ，則稱此正則變換為延伸正則變換(extended canonical transformation)；假若標度因子等於 1 ，則稱為正則變換。
任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個 
的延伸正則變換表示為
![\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/0/6/b/06bf6b511ef673aa3e0285e70a4df071.png)
。
![\sigma\left[\mathbf{p}\cdot\dot{\mathbf{q}} - \mathcal{H}\right]=\mathbf{P}'\cdot\dot{\mathbf{Q}}' - \mathcal{K}\,'+\frac{dG\,'}{dt}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/0/6/b/06bf6b511ef673aa3e0285e70a4df071.png)
。則可以設定另外一組變數與哈密頓量： 
、 
、 
、 
；其中，
是用來刪除 的常數，
。經過一番運算，可以得到
、
、
。(1)
、
、
。顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。
假若正則變換不顯性相依於時間，則稱為設限正則變換(restricted canonical transformation)。
生成函數 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 保證是正則變換。
第一型生成函數 [编辑]
第一型生成函數 
只相依於舊廣義坐標與新廣義坐標，
。
。代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數，
。
。新廣義坐標 
和舊廣義坐標 
都是自變量，其對於時間的全導數 
和 
互相無關，所以，以下 
個方程式都必須成立：
，(2)
，(3)
。(4)
，
，
。這 個方程式設定了變換 ，步驟如下：
第一組的 
個方程式 (2) ，設定了 
的 個函數方程式
。
。在理想情況下，這些方程式可以逆算出 的 個函數方程式
。(5)
。第二組的 個方程式 (3) ，設定了 
的 個函數方程式
。
。代入函數方程式 (5) ，可以算出 的 個函數方程式
。(6)
。從 
個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 個函數方程式
，
。
，
。代入新哈密頓量 
的方程式 (4) ，可以得到
。
。第二型生成函數 [编辑]
第二型生成函數 
的參數是舊廣義坐標 、新廣義動量 與時間：
；
；以下 方程式設定了變換 ：
， 
，
。
， 
，
。第三型生成函數 [编辑]
第三型生成函數 
的參數是舊廣義動量 、新廣義坐標 與時間：
。
。以下 方程式設定了變換 ：
，
，
。
，
，
。第四型生成函數 [编辑]
第四型生成函數 
的參數是舊廣義動量 、新廣義動量 與時間：
。
。以下 方程式設定了變換 ：
，
，
。
，
，
。實例 1 [编辑]
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
。
。生成函數的導數分別為
，
。
，
。舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：
。
。實例 2 [编辑]
再擧一個比較複雜的例子。讓
；
；這裏， 
是一組 個函數。
答案是一個廣義坐標的點變換，
。
。不變量 [编辑]
正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。
辛條件 [编辑]
辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個 
的豎矩陣 
:
![\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]\,\!](//upload.wikimedia.org/math/5/5/b/55b8e0d667c4f490d0ec8ce1ee62f7b8.png)
。
![\boldsymbol{\xi}^T=[q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots,\ q_N,\ p_1,\ p_2,\ p_3,\ \dots,\ p_N]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/b/55b8e0d667c4f490d0ec8ce1ee62f7b8.png)
。變數向量 將 與 包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
；
；這裏，
是辛連結矩陣、
是哈密頓量。
應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 改變成新正則坐標 
， 
；哈密頓量也從舊的哈密頓量 改變成新的哈密頓量 ，
；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
；
；這裏，
。
用第一型生成函數 
，則 
。
取 
關於時間 的導數，
；
；這裏，
是亞可比矩陣，
。
代入哈密頓方程式，
;
;假若我們限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性的不相依於時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地相依於時間，我們仍舊能得到與下述同樣的答案[1]
，這是一個很好的偏導數習題。現在，讓我們限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為
。
。而 
，所以，
。
。代回前一個方程式，取 
的係數，則可以得到
。
。經過一番運算，
；
；
；
；可以求出辛條件：
。
在這裏，我們得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。
基本帕松括號不變量 [编辑]
關於
的帕松括號定義為![\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)\,\!](//upload.wikimedia.org/math/4/e/5/4e57f6e39ab306bd20f3dbcde89a189a.png)
。
![\big[f,\ g\big]_{(\mathbf{q},\ \mathbf{p})} = \sum_{i=1}^{N} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right)\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/4/e/5/4e57f6e39ab306bd20f3dbcde89a189a.png)
。用辛標記，
![\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/6/8/c/68ca6fe3fcaaa562faa5b0a5123aeaec.png)
。
![\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=
\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/6/8/c/68ca6fe3fcaaa562faa5b0a5123aeaec.png)
。立刻，我們可以得到下述關係：
![\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0\,\!](//upload.wikimedia.org/math/1/6/2/162ca116737e05770128bf3d0089c0c1.png)
，![\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/0/7/7/07707dc9dbdc08340fb573439ad420a4.png)
。
![\big[q_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\big[p_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=0\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/1/6/2/162ca116737e05770128bf3d0089c0c1.png)
，![\big[q_i,\ p_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}= - \big[p_i,\ q_j\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\delta_{ij}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/0/7/7/07707dc9dbdc08340fb573439ad420a4.png)
。定義基本帕松括號 ![\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/d/f/1/df153359684b1e7c1ed94289dc22075d.png)
為一個方矩陣，其中，元素 
的值是 ![\big[\xi_i,\ \xi_j\big]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/e/81e37c258c8355be32bf792c54ae52a0.png)
。那麼，
![\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/4/f/6/4f6d1dc76709dee5882338090a83663c.png)
。
![\big[\boldsymbol{\xi},\ \boldsymbol{\xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/4/f/6/4f6d1dc76709dee5882338090a83663c.png)
。思考一個變換 。新坐標的基本帕松括號為
![\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/3/c/3/3c3a89815583381189198ef97feb2f04.png)
。
![\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/3/c/3/3c3a89815583381189198ef97feb2f04.png)
。這兩個正則坐標的亞可比矩陣 
是
。
。代入前一個方程式，則
![\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/5/6/7/56750c2c424a53b50a870b1566110c59.png)
。
![\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\mathbf{M}^T\boldsymbol{\Omega}\mathbf{M}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/5/6/7/56750c2c424a53b50a870b1566110c59.png)
。假若這變換是正則變換，辛條件 
必須成立，
![\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/b/1/b/b1ba5c22078bada292215f9dc3efdb75.png)
。
相反地，假若 ![\big[\boldsymbol{\Xi},\ \boldsymbol{\Xi}\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\boldsymbol{\Omega}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/b/1/b/b1ba5c22078bada292215f9dc3efdb75.png)
，則辛條件成立，這變換是正則變換。
所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為 ，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。
帕松括號不變量 [编辑]
思考兩個函数 
對於正則坐標 的泊松括號
![\begin{align}\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}} & =\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\xi}} \\
& = \left(\frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T \boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial \boldsymbol{\Xi}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}} \\
& = \left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T M^T \boldsymbol{\Omega}M\frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\ \ _\circ \\ \end{align} \,\!](http://upload.wikimedia.org/math/a/e/0/ae016714f3527b88566c2d81b6a5ff09.png)
假若這變換是正則變換，辛條件 必須成立，
![\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}\,\!](//upload.wikimedia.org/math/6/6/c/66ca7a3c30b49d4abc1b44662c5efce1.png)
。
![\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\xi}}=\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\Xi}}\right)^T\boldsymbol{\Omega}\ \frac{\partial g}{\partial \boldsymbol{\Xi}}=\big[f,\ g\big]_{\boldsymbol{\Xi}}\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/6/6/c/66ca7a3c30b49d4abc1b44662c5efce1.png)
。所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為 ![\big[f,\ g\big]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/9/8/6/98620c9f884f587974b317c5597348e6.png)
，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。
參閱 [编辑]
參考文獻 [编辑]
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 （English）.
- Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
