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正則坐標

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經典力學裏,正則坐標相空間的一種坐標。正則坐標很自然的出現於哈密頓力學的研究。正如同哈密頓力學的被辛幾何廣義化,正則變換也被切觸變換廣義化。這樣,在經典力學裏,正則坐標的 19 世紀定義也被廣義化,成為更抽象的,以餘切紮為基礎的, 20 世紀定義。

這篇文章解釋在經典力學裏的正則坐標。在量子力學裏,也有一個密切相關的概念;欲知細節,請參閱史東-馮諾伊曼理論 (Stone-von Neumann Theorem) 與正則對易關係

定義[编辑]

在哈密頓力學裏,正則坐標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\! 必須滿足哈密頓方程式

\dot{\mathbf{q}}=~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\,\!
\dot{\mathbf{p}}= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\,\!

其中,\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\,\!哈密頓量\mathbf{q}=(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_N)\,\!廣義坐標\mathbf{p}=(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_N)\,\!廣義動量

特性[编辑]

正則坐標滿足基本帕松括號關係:

[q_i, q_j]_{\mathbf{q},\mathbf{p}} = 0\,\!
[p_i, p_j]_{\mathbf{q},\mathbf{p}} = 0\,\!
[q_i, p_j]_{\mathbf{q},\mathbf{p}}= \delta_{ij}\,\!

正則坐標可以用勒壤得轉換拉格朗日形式論的廣義坐標求得;也可以用正則變換從另外一組正則坐標求得。

參閱[编辑]

辛矩陣
辛標記
哈密頓-雅可比方程