因式分解

因式分解，在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如多項式x²-4 可被因式分解為(x+2)(x-2)。

分解方法

公因數分解

原则： 1、分解要彻底 2、結果最後只留下小括號 3、結果的多項式首項為正。 在一個公式內把其公因子抽出，例子：

• $7a+98ab$
  • 其中，$7a$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：$7a(1+14b)$
• $51a^4b^7+24a^3b^2+75a^5b^5$
  • 其中，$3a^3b^2$是公因子。因此，因式分解後得到的答案是：$(3a^3b^2)(17ab^5+8+25a^2b^3)$

公式重組

透過公式重組，然後再抽出公因數，例子：

• $3a^2b-5y+12a^3b^2-20aby$

$=(3a^2b+12a^3b^2)-(5y+20aby)$

$=3a^2b(1+4ab)-5y(1+4ab)$

$=(1+4ab)(3a^2b-5y)$

• $15n^2+2m-3n-10mn$

$=(15n^2-3n)+(2m-10mn)$

$=3n(5n-1)+2m(1-5n)$

$=3n(5n-1)-2m(5n-1)$

$=(5n-1)(3n-2m)$

兩個平方之和或兩個平方之差

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \,\!$（請參見平方差）

$a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi)\,\!$

根據以上兩條恆等式，如原式符合以上條件，即可運用代用法直接分解。例如, $4x + 49\,\!$ 就可被分解為 $(2\sqrt {x} + 7i)(2\sqrt {x} - 7i)\,\!$。

兩個n次方數之和與差

兩個立方數之和

$a^3 + b^3\,\!$可分解為$(a +b)(a^2 - ab + b^2)\,\!$

兩個立方數之差

$a^3 - b^3\,\!$可分解為$(a - b)(a^2 + ab + b^2)\,\!$

兩個n次方數之差

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ...... + b^{n-1})$

兩個奇數次方數之和

$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2} b + ...... + b^{n-1})$

一次因式檢驗法

一個整係數的一元多項式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0$，假如它有整係數因式$p x + q$，且p,q互質，則以下兩條必成立：（逆敘述並不真）

• $p | a_n$
• $q | a_0$

不過反過來說，即使當$p | a_n$和$q | a_0$都成立時，整係數多項式$p x + q$也不一定是整係數多項式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0$的因式

另外一個看法是：

一個整係數的ｎ次多項式$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0$，若$p x - q$是f(x)之因式，且p,q互質，則：（逆敘述並不真）

• $p - q | f(1)$
• $p + q | f(-1)$

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