因式分解

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因式分解,在數學中一般理解為把一個多項式分解為兩個或多個的因式(因式亦為多項式)的過程。在這個過後會得出一堆較原式簡單的多項式的積。例如多項式x2-4 可被因式分解為(x+2)(x-2)。

因式分解定理[编辑]

数域F上每个次数\ge 1的多项式f(x)都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积,并且分解是唯一的,即如果有两个分解式

f(x)=p_1(x)p_x(x)p_3(x) \cdots p_s(x)=q_1(x)q_2(x) \cdots q_i(x)

其中p_i(x)(i=1,2,\cdots,s)q_j(x)(j=1,2,\cdots,t)都是数域F上的不可约多项式,那么必有s=t,而且可以适当排列因式的次序,使得

p_i(x)=c_iq_i(x)(i-1,2,\cdots,s),其中c_i(i=1,2,\cdots,s)是一些非零常数

分解方法[编辑]

公因數分解[编辑]

原则:

1、分解必須要彻底(即分解後之因式均不能再做分解)

2、結果最後只留下小括號

3、結果的多項式首項為正。 在一個公式內把其公因子抽出,例子:

  • 7a+98ab
    • 其中,7a是公因子。因此,因式分解後得到的答案是:7a(1+14b)
  • 51a^4b^7+24a^3b^2+75a^5b^5
    • 其中,3a^3b^2是公因子。因此,因式分解後得到的答案是:(3a^3b^2)(17ab^5+8+25a^2b^3)

公式重組[编辑]

透過公式重組,然後再抽出公因數,例子:

  • 3a^2b-5y+12a^3b^2-20aby
=(3a^2b+12a^3b^2)-(5y+20aby)
=3a^2b(1+4ab)-5y(1+4ab)
=(1+4ab)(3a^2b-5y)
  • 15n^2+2m-3n-10mn
=(15n^2-3n)+(2m-10mn)
=3n(5n-1)+2m(1-5n)
=3n(5n-1)-2m(5n-1)
=(5n-1)(3n-2m)

十字交乘法[编辑]

兩個平方之和或兩個平方之差[编辑]

 a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \,\!(請參見平方差
 a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi)\,\!

根據以上兩條恆等式,如原式符合以上條件,即可運用代用法直接分解。例如, 4x + 49\,\! 就可被分解為 (2\sqrt {x} + 7i)(2\sqrt {x} - 7i)\,\!

兩個n次方數之和與差[编辑]

兩個立方數之和

 a^3 + b^3\,\!可分解為(a +b)(a^2 - ab + b^2)\,\!

兩個立方數之差

 a^3 - b^3\,\!可分解為(a - b)(a^2 + ab + b^2)\,\!

兩個n次方數之差

a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ...... + b^{n-1})

兩個奇數次方數之和

a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2} b + ...... + b^{n-1})

一次因式檢驗法[编辑]

一個整係數的一元多項式a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0,假如它有整係數因式p x + q且p,q互質,則以下兩條必成立:(逆敘述並不真)

  • p | a_n
  • q | a_0

不過反過來說,即使當p | a_nq | a_0都成立時,整係數多項式p x + q也不一定是整係數多項式a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0的因式

另外一個看法是:

一個整係數的n次多項式a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...... a_1 x + a_0,若p x - q是f(x)之因式,且p,q互質,則:(逆敘述並不真)

  • p - q | f(1)
  • p + q | f(-1)

相關條目[编辑]