共形場論

共形場論、保角場論 (conformal field theory, CFT) 是量子場論一支，研究共形對稱之量子場組成之結構 (數學上或相通於處臨界點之統計力學模型) 。一此結構亦俗稱「一共形場論」。此論中最為人知者是二維共形場論，因其有一巨大、對應於各全純函數之無限維局部共形變換羣。

共形場論有用於 弦論、統計力學、凝態物理。

標度不變與共形不變

標度變換 是共形變換之子集。 標度變換下不變、但共形變換下變之量子場論例子罕見。 而且在某些條件下，標度不變涵蘊共形不變。 故量子場論研究員常混用標度不變與共形不變二詞。

二維共形場論

二維共形場論有一無限維之局部共形變換羣。例如，考慮黎曼球面上的共形場論：雖其變換羣由各Moebius變換組成、同構於PSL(2,C)，但其無窮小共形變換則構成無限維之Witt代數。注意：大多共形場論量子化後會出現共形反常（又稱Weyl反常）。此現象引進一非零之中心荷，因而Witt代數須擴展成Virasoro代數。

此對稱結構讓我們更細緻分類二維的共形場論。尤其我們可聯繋一共形場論之原初算子與其中心荷 c。各物理態組成之希爾伯特空間是Virasoro代數以c為定值之一么正模. 若要使整個系統穏定，則其Hamiltonian能譜 應限於零上。最廣為人用者是Virasoro代數之最高權表示。

一手徵場是一全純場W(z)，其在Virasoro代數作用下之變換為

$L_n W(z)=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z} W(z) - \Delta z^n W(z)$,

$\bar L_n W(z)=0.\,$.

反手徵場之定義亦類同。我们稱 Δ 為手徵場W之「共形權」。

Zamolodchikov 證明了：存在一函數 C，在重整羣流作用下單調下降，且等於一二維共形場論之中心荷。 此定理人稱「Zamolodchikov C-定理」。

參閱

• AdS/CFT 對應
• 算子積展開
• 頂點代數
• WZW 模型
• 臨界點

參攷

• Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. arXiv:hep-th/9108028.
• P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, 紐約, 1997年. ISBN 0-387-94785-X.
• A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.
• A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility' Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986 [1] (Russian version).

• 弦论通俗演义（十九）