共形場論

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共形場論保角場論 (conformal field theory, CFT) 是量子場論一支,研究共形對稱之量子場組成之結構 (數學上或相通於處臨界點統計力學模型) 。一此結構亦俗稱「一共形場論」。此論中最為人知者是二維共形場論,因其有一巨大、對應於各全純函數之無限維局部共形變換羣。

共形場論有用於弦論統計力學凝態物理

標度不變與共形不變[编辑]

標度變換 是共形變換之子集。 標度變換下不變、但共形變換下變之量子場論例子罕見。 而且在某些條件下,標度不變涵蘊共形不變。 故量子場論研究員常混用標度不變共形不變二詞。

二維共形場論[编辑]

二維共形場論有一無限維之局部共形變換羣。例如,考慮黎曼球面上的共形場論:雖其變換羣由各Moebius變換組成、同構於PSL(2,C),但其無窮小共形變換則構成無限維之Witt代數。注意:大多共形場論量子化後會出現共形反常(又稱Weyl反常)。此現象引進一非零之中心荷,因而Witt代數須擴展成Virasoro代數。

此對稱結構讓我們更細緻分類二維的共形場論。尤其我們可聯繋一共形場論之原初算子[1]與其中心荷 c。各物理態[2]組成之希爾伯特空間是Virasoro代數以c為定值之一么正模[3]. 若要使整個系統穏定,則其Hamiltonian能譜[4] 應限於零上。最廣為人用者是Virasoro代數之最高權表示[5]

手徵場是一全純場W(z),其在Virasoro代數作用下之變換為

L_n W(z)=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z} W(z) - \Delta z^n W(z),
\bar L_n W(z)=0.\,.

反手徵場之定義亦類同。我们稱 Δ 為手徵場W之「共形權」[6]

Zamolodchikov 證明了:存在一函數 C,在重整羣流作用下單調下降,且等於一二維共形場論之中心荷。 此定理人稱「Zamolodchikov C-定理」。

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參閱[编辑]

参考文献[编辑]

  • Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. arXiv:hep-th/9108028.
  • P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, 紐約, 1997年. ISBN 0-387-94785-X.
  • A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.
  • A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility' Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986 [1] (Russian version).
  • 弦论通俗演义(十九)

延伸閱讀[编辑]