皮亚诺曲线

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皮亚诺曲线的構建

皮亚诺曲线(Peano curve)是一条能够填满正方形的曲线。 在传统概念中,曲线的数维是1维,正方形是2维。

1890年,意大利数学家皮亚诺(Peano G)发明能填满一个正方形的曲线,叫做皮亚诺曲线,其构造方法如下:取一个正方形并且把它分出九个相等的小正方形,然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束,依次把小正方形的中心用线段连接起来;下一步把每个小正方形分成九个相等的正方形,然后上述方式把其中中心连接起来……将这种操作手续无限进行下去,最终得到的极限情况的曲线就被称作皮亚诺曲线。

皮亚诺对区间[0,1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上,正方形的这些点对于t\in[0,1],可规定两个连续函数x=f(t)y=g(t),使得xy取属于单位正方形的每一个值。后来,希尔伯特作出了这条曲线。

一般来说,一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。

这说明我们对维数的认识是有缺陷的,有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考虑的问题。在分形几何中,维数可以是分数叫做分维。

此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们想要研究传统意义上的曲线,就必须加上可导的条件,以便排除像皮亚诺曲线这样的特例。

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