格林公式

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

在物理學與數學中, 格林定理連結了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為 C 且平面區域為 D 的雙重積分。 格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。

设闭区域D由分段光滑的简单曲线L 围成,函数P(x,y)及 Q(x,y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有

\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L^{+}}(Pdx+Qdy)

其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C曲线积分C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。另见格林第一公式格林第二公式

特殊情况的证明[编辑]

以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,C2C4是竖直的直线。对于II型的区域D,其中C1C3是水平的直线。

如果我们可以证明

\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

以及

\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为:

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

其中g1g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分:

 \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L (x,y)}{\partial y}\, dy\, dx \right]
 = \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1C2C3C4的并集。

对于C1,使用参数方程x = xy = g1(x),axb。那么:

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx

对于C3,使用参数方程x = xy = g2(x),axb。那么:

 \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

沿着C3的积分是负数,因为它是沿着反方向从ba。在C2C4上,x是常数,因此:

 \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

所以:

 \int_{C} L\, dx  = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
 = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

(3)和(4)相加,便得到(1)。类似地,也可以得到(2)。

参见[编辑]