格林公式

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设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有

$\iint\limits_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L}Pdx+Qdy$ }-

其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

此公式叫做格林公式。另见格林第一公式、格林第二公式。

[编辑] 特殊情况的证明

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C₂和C₄是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C₁和C₃是水平的直线。

如果我们可以证明

$\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}$

以及

$\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}$

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：

$D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$

其中g₁和g₂是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

$\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	$=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]$
	$= \int_a^b \Big\{L(x,g_2(x)) - L(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}$

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C₁、C₂、C₃和C₄的交集。

对于C₁，使用参数方程：x = x，y = g₁(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

$\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L(x,g_1(x))\Big\}\, dx$

对于C₃，使用参数方程：x = x，y = g₂(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

$\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx$

沿着C₃的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C₂和C₄上，x是常数，因此：

$\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0$

所以：

$\int_{C} L\, dx$	$= \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx$
	$= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}$

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。