夾擠定理

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

夾擠定理,又稱挾擠定理三明治定理夹逼定理夹逼准则迫敛性法则,是有關函數極限定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同,且有第三個函數的值在這兩個函數之間,则第三個函數在該點的極限也相同。

I為包含某點a區間f,g,h為定義在I上的函數。若對於所有屬於I而不等於ax,有:

  • g(x) \leq f(x) \leq h(x)
  • \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.

\lim_{x \to a} f(x) = L

g(x)h(x)分別稱為f(x)下界上界

a若在I的端點,上面的極限是左極限或右極限。 對於x \to \infty,這個定理還是可用的。

例子[编辑]

\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac {1} {x} [编辑]

在任何包含0的區間上,除了x=0f(x) = x^2 \sin(1/x)均有定義。

對於實數值,正弦函數的絕對值不大於1,因此f(x)的絕對值也不大於x^2。設g(x) = -x^2, h(x) = x^2

-1 \le \sin(\frac {1} {x}) \le 1
-x^2 \le x^2 \sin(\frac {1} {x}) \le x^2
g(x) \le f(x) \le h(x)

\lim_{x \to 0} \ g(x) = \lim_{x \to 0} \ h(x) = 0,根據夾擠定理

\lim_{x \to 0} f(x) = 0

(注:這個問題不可以用洛必達法則解決。)

\lim_{x \to 0} \frac {\sin x} {x}[编辑]

首先用幾何方法證明:若 0 < x < \pi / 2 \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

Circle-trig6.svg

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。COD上,使得AC垂直OD。過A作單位圓的切線,與OD的延長線交於E

由定義可得x=\angle AOD=arc AD\tan x = AE

 AC < AD < arc AD
\sin x < x
 \frac{\sin x}{x} < 1
 arc AD < AE
 x < \tan x
 \cos x < \frac{\sin x}{x}

因為\lim_{x \to 0^{+}} \cos x = 1,根據夾擠定理

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數[编辑]

高斯函數積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是I(a) = \int_{0}^a e^{-x^2}\,dx,現在要求的是I(\infty) = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx

被積函數對於y軸是對稱的,因此I(\infty)是被積函數對於所有實數的積分的一半。

(2I)^2 = \left[2 \int_{0}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \left[ \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)} dx dy

這個二重積分在一個(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)的正方形內。它比其內切圓大,比外接圓小。這些可用極坐標表示:

\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta \le (2I)^2 \le \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta
\pi (1-e^{-a^2}) \le (2I)^2 \le \pi (1-e^{-2a^2})
\lim_{a \to \infty} (\pi (1-e^{-a^2})) = \lim_{a \to \infty} (\pi (1-e^{-2a^2})) = \pi \vdash (2I(\infty))^2 = \pi
\lim_{a \to \infty} (2I)^2 = \pi
I(\infty) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

證明[编辑]

極限為0的情況[编辑]

\forall x \in Rg(x)=0 ,並有 \lim_{x \to a} h(x) = 0

 \varepsilon > 0,根據函數的極限的定義,存在\delta > 0使得:若 0 < |x-a| < \delta,則|h(x)| < \varepsilon

由於 0 = g(x) \le f(x) \le h(x),故|f(x)| \le |h(x)|

0 < |x-a| < \delta,則|f(x)| < |h(x)| < \varepsilon。於是, \lim_{x \to a} f(x) = 0

一般情況[编辑]

g(x) \le f(x) \le h(x) 0 \le f(x) - g(x) \le h(x) - g(x)

當x → a:

h(x) - g(x) \to L-L = 0
根據上面已證的特殊情況,可知f(x) - g(x) \to 0
f(x) = (f(x) - g(x)) + g(x) \to 0 + L = L。 ■