夾擠定理

夾擠定理，又稱挾擠定理、三明治定理、夹逼定理、夹逼准则、迫敛性法则，是有關函數極限的定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。

設$I$為包含某點$a$的區間，$f,g,h$為定義在$I$上的函數。若對於所有屬於$I$而不等於$a$的$x$，有：

• $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$；
• $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.$；

則$\lim_{x \to a} f(x) = L$。

$g(x)$和$h(x)$分別稱為$f(x)$的下界和上界。

$a$若在$I$的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於$x \to \infty$，這個定理還是可用的。

例子

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac {1} {x}$

在任何包含0的區間上，除了$x=0$，$f(x) = x^2 \sin(1/x)$均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此$f(x)$的絕對值也不大於$x^2$。設$g(x) = -x^2$, $h(x) = x^2$：

$-1 \le \sin(\frac {1} {x}) \le 1$

$-x^2 \le x^2 \sin(\frac {1} {x}) \le x^2$

$g(x) \le f(x) \le h(x)$

$\lim_{x \to 0} \ g(x) = \lim_{x \to 0} \ h(x) = 0$，根據夾擠定理

$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。

（注：這個問題不可以用洛必達法則解決。）

$\lim_{x \to 0} \frac {\sin x} {x}$

首先用幾何方法證明：若$0 < x < \pi / 2$，$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$。

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。$C$在$OD$上，使得$AC$垂直$OD$。過$A$作單位圓的切線，與$OD$的延長線交於$E$。

由定義可得$x=\angle AOD=arc AD$，$\tan x = AE$。

$AC < AD < arc AD$

$\sin x < x$

$\frac{\sin x}{x} < 1$

$arc AD < AE$

$x < \tan x$

$\cos x < \frac{\sin x}{x}$

因為$\lim_{x \to 0^{+}} \cos x = 1$，根據夾擠定理

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin x}{x} = 1$。

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數

高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和Normalization。 一般高斯函數的積分是$I(a) = \int_{0}^a e^{-x^2}\,dx$，現在要求的是$I(\infty) = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx$。

被積函數對於y軸是對稱的，因此$I(\infty)$是被積函數對於所有實數的積分的一半。

$(2I)^2 = \left[2 \int_{0}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \left[ \int_{-a}^a e^{-x^2} dx \right] ^2 = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)} dx dy$

這個二重積分在一個$(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)$的正方形內。它比其內接圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

$\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta \le (2I)^2 \le \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta$

$\pi (1-e^{-a^2}) \le (2I)^2 \le \pi (1-e^{-2a^2})$

$\lim_{a \to \infty} (\pi (1-e^{-a^2})) = \lim_{a \to \infty} (\pi (1-e^{-2a^2})) = \pi \vdash (2I(\infty))^2 = \pi$

$\lim_{a \to \infty} (2I)^2 = \pi$

$I(\infty) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

證明

極限為0的情況

若$\forall x \in R$，$g(x)=0$，並有$\lim_{x \to a} h(x) = 0$。

設$\varepsilon > 0$，根據函數的極限的定義，存在$\delta > 0$使得：若$0 < |x-a| < \delta$，則$|h(x)| < \varepsilon$。

由於 $0 = g(x) \le f(x) \le h(x)$，故$|f(x)| \le |h(x)|$。

若 $0 < |x-a| < \delta$，則$|f(x)| < |h(x)| < \varepsilon$。於是，$\lim_{x \to a} f(x) = 0$。

一般情況

$g(x) \le f(x) \le h(x)$ $0 \le f(x) - g(x) \le h(x) - g(x)$

當x → a：

$h(x) - g(x) \to L-L = 0$

根據上面已證的特殊情況，可知$f(x) - g(x) \to 0$。

$f(x) = (f(x) - g(x)) + g(x) \to 0 + L = L$。 ■