矩形法

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

微积分中,矩形法是一种计算定积分近似值的方法,其思想是求若干个矩形的面积之和,这些矩形的高由函数值来决定。[1]


积分区间 (a,b) 划分为 n 个长度相等的子区间,每个子区间的长度为 \Delta x = (b-a)/n 。这些矩形左上角、右上角或顶边中点在被积函数图像上。这样,这些矩形的面积之和就约等于定积分的近似值。有:

\int_a^b f(x)\,\mbox{d} x \approx \sum_{i=1}^{n} f(a+i'\Delta x)\Delta x

其中i'可以是以下三个值 i-1ii-1/2之一,由函数图像上的点为矩形的左上角、右上角或顶边中点来决定。

n 逐渐扩大时,此近似值更加准确。矩形法的计算本质上是与黎曼积分的定义相吻合的。上述的i'无论取哪个值,最终和式的值都将趋近于定积分的值。[2]

C 语言代码[编辑]

#include <stdio.h>
#include <math.h>
 
double f(double x){
   return sin(x);
   /*也可以回传其他数学子程序,像cos(2*x)或2*atan(3*x+1)-1*/
}
 
double rectangle_integrate(double a, double b, int subintervals){
   double result;
   double interval;
   int i;
 
   interval=(b-a)/subintervals;
   result=0;
 
   for(i=1;i<=subintervals;i++){
      result+=f(a+interval*(i-0.5));
   }
   result*=interval;
 
   return result;
}
 
int main(void){
   double integral;
   integral=rectangle_integrate(0,2,100);
   printf("Integral: %f \n",integral);
   return 0;
}

Fortran 语言代码[编辑]

 
      Program Calc
 
      Double Precision f,y,a,b,J,mult,sum,c1,c2
      Sum=0.0
      c2=0.0
      c1=0.0
 
      Print*,'Enter the start and end of the interval'
      Read*,a,b
      If (b.gt.a) then
         goto 1
      Else
         goto 2
      End If
 
  1   Do J=a,b,.00000001
         c1=J
         Y=F(((c1+c2)/2))
         Mult=Y*.00000001
         Sum=sum+mult
         c2=c1
      End Do
 
  2   Do J=a,b,-.00000001
         c1=J
         Y=F(((c1+c2)/2))
         Mult=Y*.00000001
         Sum=sum+mult
         c2=c1
      End Do
 
      Print*,Sum
  3   Format (F20.5)
      End
 
      Double Precision Function f(x)
      Double Precision x
 
      F=(4)/((x**2)+1)
 
      Return
      End

注释与参考[编辑]

  1. ^ 同济大学数学教研室. 《高等数学》 第三版. 高等教育出版社. 1988-04: 319. ISBN 7-04-000894-7. 
  2. ^ 李忠、周建莹. 《高等数学》 第二版. 北京大学出版社. 2009-08: 166~167. ISBN 978-7-301-15597-4. 

另见[编辑]