罗尔定理

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中值定理

相关条目微积分学

如果函数 f(x) 满足

  1. 在闭区间 [a,b]连续
  2. 在开区间 (a,b) 内可导;
  3. 在区间端点处的函数值相等,即 f(a)=f(b)

那么在(a,b)内至少有一点\xi (a<\xi<b),使得 f^\prime(\xi)=0。这个定理称为罗尔定理

证明[编辑]

罗尔定理的几何意义

首先,因为 f 在闭区间 [a,b] 上连续,根据极值定理f[a,b] 上有最大值最小值。如果最大值和最小值都在端点 ab 处取得,由于 f(a)=f(b)f 显然是一个常数函数。那么对于任一点 \xi \in (a,b),我们都有 f^\prime(\xi)=0

现在假设 f\xi\in (a,b) 处取得最大值。我们只需证明 f 在该点导数为零。

x\in (a,\xi),由最大值定义 f(\xi)\geq f(x),那么 \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0。令 x\rightarrow \xi^-,则 \lim_{x\rightarrow \xi^-} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0。因为 f\xi 处可导,所以我们有  f'(\xi)\geq 0

x\in (\xi,b),那么 \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0。这时令 x\rightarrow \xi^+,则有 \lim_{x\rightarrow \xi^+} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0,所以  f'(\xi)\leq 0

于是,f'(\xi)=0

f\xi\in(a,b) 处取得最小值的情况同理。

例子[编辑]

第一个例子[编辑]

半径为r半圆

考虑函数

f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].

(其中r > 0。)它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续,在开区间(−r,r)内可导(但在终点−rr处不可导)。由于f(−r) = f(r),因此根据罗尔定理,存在一个导数为零的点。


第二个例子[编辑]

绝对值函数的图像

如果函数在区间内的某个点不可导,则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0,考虑绝对值函数:

f(x) = |x|,\qquad x\in[-a,a].

那么f(−a) = f(a),但−aa之间不存在导数为零的点。这是因为,函数虽然是连续的,但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1,但不取得值0。


推广形式[编辑]

第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式:

考虑一个实值,在闭区间[a,b]上的连续函数,并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x,右极限

f'(x+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

而左极限

f'(x-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在,那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限

f'(c+)\quad\quad f'(c-)

中其中一个≥ 0,另一个≤ 0 (在扩展的实数轴上)。如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等,于是在cf的导函数存在且等于零。

参见[编辑]