罗尔定理

中值定理
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如果函数 $f(x)$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$，

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$，使得 $f^\prime(\xi)=0$。这个定理称为罗尔定理。

证明

罗尔定理的几何意义

首先，因为 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据极值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，由于 $f(a)=f(b)$，$f$ 显然是一个常数函数。那么对于任一点 $\xi \in (a,b)$，我们都有 $f^\prime(\xi)=0$。

现在假设 $f$ 在 $\xi\in (a,b)$ 处取得最大值。我们只需证明 $f$ 在该点导数为零。

取 $x\in (a,\xi)$，由最大值定义 $f(\xi)\geq f(x)$，那么 $\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0$。令 $x\rightarrow \xi^-$，则 $\lim_{x\rightarrow \xi^-} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0$。因为 $f$ 在 $\xi$ 处可导，所以我们有 $f'(\xi)\geq 0$。

取 $x\in (\xi,b)$，那么 $\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0$。这时令 $x\rightarrow \xi^+$，则有 $\lim_{x\rightarrow \xi^+} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0$，所以 $f'(\xi)\leq 0$。

于是，$f'(\xi)=0$。

$f$ 在 $\xi\in(a,b)$ 处取得最小值的情况同理。

例子

第一个例子

半径为r的半圆

考虑函数

$f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r].$

（其中r > 0。）它的图像是中心位于原点的半圆。这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。

第二个例子

绝对值函数的图像

如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。对于某个a > 0，考虑绝对值函数：

$f(x) = |x|,\qquad x\in[-a,a].$

那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x = 0不可导。注意f的导数在x = 0从-1变为1，但不取得值0。

参见

• 中值定理