扩展的实数轴

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扩展的实数轴实数轴 R 加上 +∞ 和 −∞ 得到(注意 +∞ 和 −∞ 并不是实数),写作 R 或 [−∞,+∞]。扩展的实数轴在研究数学分析,特别是积分时非常有用。

扩展[编辑]

对任意实数 a,定义 −∞ ≤ a ≤ +∞,扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质,就是其所有子集都有上确界下确界:这是一个完备格。全序关系在 R 上引入了拓扑。在这个拓扑中,集合 U 是 +∞ 的邻域,当且仅当它包含集合 {x : xa},这里 a 是某个实数。−∞ 的邻域类似。R 是个紧致豪斯多夫空间,与单位区间 [0,1] 同胚

R 上的算术运算可以部分地扩展到 R,如下:

  • a ≠ −∞,a + ∞ = ∞ + a = ∞   
  • a ≠ +∞,a − ∞ = −∞ + a = −∞   
  • a > 0,a × +∞ = +∞ × a = +∞   
  • a < 0,a × +∞ = +∞ × a = −∞   
  • a > 0,a × −∞ = −∞ × a = −∞   
  • a < 0,a × −∞ = −∞ × a = +∞   
  • 若 −∞ < a < +∞,a / ±∞ = 0   
  • 若 0 < a < +∞,±∞ / a = ±∞   
  • 若 −∞ < a < 0,+∞ / a = −∞   
  • 若 −∞ < a < 0,−∞ / a = +∞   

通常,不定义 ∞ − ∞,0 × ±∞ 和 ±∞ / ±∞。同时,1 / 0 也定义为 +∞ (因為這樣忽視了 −∞ )。这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意,在这些定义下,R ,也不是环。

性质[编辑]

经过上述定义,扩展的实数轴仍有很多实数的性质:

  • a + (b + c) 和 (a + b) + c 相等或同时没有定义。
  • a + bb + a 相等或同时没有定义。
  • a × (b × c) 和 (a × b) × c 相等或同时没有定义。
  • a × bb × a 相等或同时没有定义。
  • a × (b + c) 和 (a × b) + (a × c) 若都有定义则相等。
  • aba + cb + c 都有定义,则 a + cb + c
  • abc > 0 且 a × cb × c 都有定义,则 a × cb × c

通常,只要表达式都有定义,所有算术性质在 R 上都成立。

使用极限,一些函数可以自然地扩展到 R。例如,可以定义exp(−∞) = 0,exp(+∞) = +∞,ln(0) = −∞,ln(+∞) = ∞ 等等。

参见[编辑]