欧拉方程 (刚体运动)

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本条目讨论刚体力学。对于其它意义的欧拉方程,参看欧拉方程

物理学上,欧拉方程统治刚体的转动。我们可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系。这使得计算得以简化,因为我们现在可以将角动量的变化分成分别描述\mathbf{L}的大小变化和方向变化的部分,并进一步将惯量对角化。

这些方程是:


\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}

其中\mathbf{L}角动量在体坐标系中的表达,
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}是物体角动量相对于体坐标系的变化, \mathbf{\omega}是在体坐标系中的角速度,而\mathbf{N}是外力矩。


证明[编辑]


\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}+\mathbf{\omega}\times\mathbf{L}
=\left(I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}\right)+\mathbf(\omega)\times I\mathbf{\omega}
=I\frac{d\mathbf{\omega}}{dt}+\frac{dI}{dt}\mathbf{\omega}
=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{N}

分量形式[编辑]

采用主轴坐标,I对角化,则\mathbf{L}分量形式为I_1\omega_1\mathbf{e}_1 + I_2\omega_2\mathbf{e}_2 + I_3\omega_3\mathbf{e}_3。从而,欧拉方程变为如下分量形式


\begin{matrix}
N_1 &=& I_1\dot{\omega}_1+(I_3-I_2)\omega_2\omega_3\\
N_2 &=& I_2\dot{\omega}_2+(I_1-I_3)\omega_3\omega_1\\
N_3 &=& I_3\dot{\omega}_3+(I_2-I_1)\omega_1\omega_2\\
\end{matrix}

应用[编辑]

方程左边为0时,还是有非平凡解:无力矩进动

该方程也可以使用在坐标轴不在物体上的场合,
\left(\frac{d\mathbf{L}}{dt}\right)_\mathrm{relative}不再连接到物体本身。\mathbf{\omega}是围绕固定坐标轴的转动而不是物体本身的转动。但是,所选的轴必须还是主轴,因为它是对角化的必要条件。这个形式的欧拉方程对于有旋转对称性的物体很有用,因为有些主轴的选取是自由的。

參閱[编辑]