歐拉運動定律

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莱昂哈德·欧拉

歐拉運動定律Euler's laws of motion)是牛頓運動定律的延伸,可以應用於多粒子系統運動或剛體運動,描述多粒子系統運動或剛體的平移運動旋轉運動分別與其感受的力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀,於1750年,萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。[1][2]

剛體也是一種多粒子系統,但理想剛體是一種有限尺寸,可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力,在剛體內部,點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸,應用於可變形體deformable body)內任意部分的平移運動與旋轉運動。

剛體[编辑]

歐拉第一運動定律[编辑]

歐拉第一定律表明,從某慣性參考系觀測,施加於剛體的淨外力,等於剛體質量質心加速度的乘積。[3]歐拉第一定律以方程式表達為

\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf {a}_{cm}

其中,\mathbf{F}^{(ext)} 是剛體感受到的淨外力,m\mathbf {a}_{cm} 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子,感受到同樣的淨外力,而呈現的運動。

導引[编辑]

思考由 n 個粒子組成的多粒子系統,其質心位置 \mathbf{r}_{cm}

\mathbf{r}_{cm}\stackrel{def}{=} \frac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{r}_i}{m} ;

其中,m_i\mathbf{r}_i 分別為第 i 個粒子的質量、位置m=\sum_{i = 1}^n m_i 是系統的質量。

質心速度 \mathbf{v}_{cm}

\mathbf{v}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i}{m}

其中,\mathbf{v}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t} 是第 i 個粒子的速度

質心加速度 \mathbf{a}_{cm}

\mathbf{a}_{cm}= \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}_{cm}}{\mathrm{d}t}= \cfrac{\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{a}_i}{m}

其中,\mathbf{a}_i=\frac{\mathrm{d^2}\mathbf{r}_{i}}{\mathrm{d}t^2} 是第 i 個粒子的加速度

i 個粒子感受到的力 \mathbf{F}_{i}

\mathbf{F}_{i}=\mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}

其中,\mathbf{F}_i^{(ext)} 是這粒子感受到的外力,\mathbf{F}_{ji} 是第 j 個粒子施加於第 i 個粒子的內力。

系統感受到的淨力 \mathbf{F} 是所有粒子感受到的力的向量和:

\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}+ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1,
j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}

根據牛頓第三定律,內力與其反作用力的關係為

\mathbf{F}_{ji}=-\mathbf{F}_{ji}

所以,所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零,淨力等於所有外力的向量和 (淨外力 \mathbf{F}^{(ext)} ):

\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_i^{(ext)}=\mathbf{F}^{(ext)}

根據牛頓第二定律,第 i 個粒子感受到的力 \mathbf{F}_{i} 與這粒子的加速度之間的關係為

\mathbf{F}_{i}=m_i \mathbf{a}_i

總和所有粒子所感受到的力,

\mathbf{F}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{F}_{i}=\sum_{i = 1}m_i \mathbf{a}_i=m\mathbf{a}_{cm}

所以,淨外力 \mathbf{F}^{(ext)} 與質心加速度的關係為

\mathbf{F}^{(ext)}=m\mathbf{a}_{cm}

動量守恆定律[编辑]

多粒子系統的動量 \mathbf{p} 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和:

\mathbf{p}= \sum_{i = 1}^n \mathbf{p}_i =\sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i=m\mathbf{v}_{cm}

其中,\mathbf{p}_i 是第 i 個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為

\mathbf{F}^{(ext)}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

假設淨外力為零,則系統的動量守恆。

歐拉第二運動定律[编辑]

歐拉第二定律表明,設定某慣性參考系的固定點O(例如,原點)為參考點,施加於剛體的淨外力矩,等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為

\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}

其中,\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} 是對於點O淨外力矩,\mathbf{L}_O 是對於點O的角動量。

導引[编辑]

思考由 n 個粒子組成的多粒子系統。對於點O,第 i 個粒子的角動量 \mathbf{L}_i

\mathbf{L}_i =\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i=\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i

\mathbf{L}_i 對於時間的導數為

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}
=\frac{\mathrm{d}(\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{v}_i)}{\mathrm{d}t}
=\mathbf{v}_i\times m_i\mathbf{v}_i+\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i
=\mathbf{r}_i\times m_i\mathbf{a}_i

根據牛頓第二定律,施加於第 i 個粒子的力 \mathbf{F}_{i} 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以,\mathbf{L}_i 對於時間的導數為

\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}
=\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i

i 個粒子所感受到的淨力矩 \boldsymbol{\tau}_i \boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_i 。所以,\boldsymbol{\tau}_i \mathbf{L}_i 的關係為

\boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}

總和所有粒子所感受到的淨力矩,系統所感受到的淨力矩 \boldsymbol{\tau}_O 與其角動量 \mathbf{L}_O 的關係為

\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum_{i = 1}^n \mathbf{L}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}

i 個粒子所感受到的淨力 \mathbf{F}_i

\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{F}_{ji}

i 個粒子所感受到的淨力矩 \boldsymbol{\tau}_i

\boldsymbol{\tau}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i=\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}

物體感受到的淨力矩 \boldsymbol{\tau}_O 為:

\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n \boldsymbol{\tau}_i =\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)} +\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1, j\ne i}^n \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}

應用牛頓第三定律

\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}+\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji} =\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_{ji}-\mathbf{r}_j \times\mathbf{F}_{ji}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)\times\mathbf{F}_{ji}=\mathbf{r}_{ij}\times\mathbf{F}_{ji}

其中,\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j 是從粒子 \mathbf{r}_j 到粒子 \mathbf{r}_i 的位移向量。

假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律,即粒子運動為經典運動,速度超小於光速,則\mathbf{r}_{ij}\mathbf{F}_{ji} 同向,叉積為零。那麼,物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 \boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}

\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{(ext)}=\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)}

這樣,可以得到歐拉第二定律方程式

\boldsymbol{\tau}_O^{(ext)} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t}

假設施加於系統的淨外力矩為零,則系統的角動量的時間變化率為零,系統的角動量守恆。

相對於質心的歐拉第二運動定律[编辑]

所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為

\boldsymbol{\tau}_O=\sum_{i = 1}^n\boldsymbol{\tau}_i=\sum_{i = 1}^n\mathbf{r}_i\times(m_i\mathbf{a}_i)=\sum_{i = 1}^n(\mathbf{r}_{cm}+\mathbf{r}'_i)\times(m_i(\mathbf{a}_{cm}+\mathbf{a}'_i))

其中,\mathbf{r}'_{i}=\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{cm}\mathbf{a}'_{i}=\mathbf{a}_{i}-\mathbf{a}_{cm} 分別是第 i 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。

注意到所有粒子的相對位移與相對加速度,其向量和分別為零,所以,

\boldsymbol{\tau}_O=\mathbf{r}_{cm}\times m\mathbf{a}_{cm}+
\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i

現在,假設將質心設定為參考點,則 \mathbf{r}_{cm}=0 ,方程式變為

\boldsymbol{\tau}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{a}'_i

以質心為參考點,角動量 \mathbf{L}_{cm}

\mathbf{L}_{cm}=\sum_{i = 1}^n \mathbf{r}'_i\times m_i\mathbf{v}'_i

所以,不論質心參考系是否為慣性參考系(即不論質心是否呈加速度運動),以質心為參考點,淨外力矩等於角動量的時間變化率:

\boldsymbol{\tau}_{cm}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_{cm}}{\mathrm{d}t}

可變形體[编辑]

在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣,也就是說,其內部存在有應力分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常,牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動,但在連續介質力學裏,被加以延伸後,可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成,每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律,則可以推導出歐拉運動定律。不論如何,歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理,與物體結構無關。[4]

塑性力学(plasticity theory)裏,施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種:「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分,稱為徹體力body force),而短程力只能作用於物體表面,稱為接觸力contact force)。這樣,施加於連續物體的淨力 \mathbf {F} 分為淨徹體力 \mathbf {F}_b 、淨接觸力 \mathbf {F}_t

\mathbf{F}_b=\int_\mathbb{V}\mathbf{b}\,\mathrm{d}m=\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V
\mathbf{F}_t=\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S

其中,\mathbf{b} 是徹體力場(量綱為力每單位質量),\mathrm{d}m 是微小質量元素,\rho 是質量密度,\mathrm{d}V 是微小體元素,\mathbb{V} 是積分體區域,\mathbf{t}表面曳力surface traction)密度,\mathrm{d}S 是微小面元素,\mathbb{S} 是積分曲面。

由於徹體力與接觸力施加於物體,造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣,對於原點的淨力矩 \mathbf{L} 分為淨徹體力矩 \mathbf {L}_b 、淨接觸力矩 \mathbf {L}_t

\mathbf {L}_b=\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V
\mathbf {L}_t= \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S

其中,\mathbf{r} 是微小體元素或微小面元素的位置。

歐拉第一定律(「力平衡定律」)表明,從某慣性參考系觀測,施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率:

\mathbf{F}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}

也就是說,

\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+\int_{\mathbb{S}}\mathbf{t}\,\mathrm{d}S
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V

其中,\mathbf{v} 是微小體元素的速度。

歐拉第二定律(「角動量平衡定律」)表明,從某慣性參考系觀測,施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率:

\boldsymbol{\tau}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}

也就是說,

\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{b}\,\mathrm{d}V+ \int_\mathbb{S} \mathbf{r}\times \mathbf{t}\,\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\mathbb{V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{v}\,\mathrm{d}V

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Beatty, Millard F. Principles of engineering mechanics Volume 2 of Principles of Engineering Mechanics: Dynamics-The Analysis of Motion,. Springer. 2006pp. 405: . ISBN 0387237046. 
  2. ^ Bradley, Robert E., Sandifer, Charles. Leonhard Euler: life, work and legacy Volume 5 of Studies in the history and philosophy of mathematics. Elsevier. 2007pp. 196: . ISBN 9780444527288. 
  3. ^ Rao, Anil Vithala. Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. 2006355: . ISBN 978-0-521-85811-3. 
  4. ^ Lubliner, Jacob. Plasticity Theory (Revised Edition). Dover Publications. 2008: pp. 27–28. ISBN 0486462900.