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杠杆

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槓桿
Palanca-ejemplo.jpg
遵守槓桿原理,置放在槓桿上的兩個重物呈靜力平衡狀態。
分類 簡單機械

力學裏,典型的槓桿lever)是置放連結在一個支撐點上的硬棒,這硬棒可以繞著支撐點旋轉古希臘人將槓桿歸類為簡單機械[1]並且嚴謹地研究出槓桿的操作原理。

某些槓桿能夠將輸入力放大,給出較大的輸出力,這功能稱為「槓桿作用」。槓桿的機械利益是輸出力與輸入力的比率。

历史[编辑]

1824年,在倫敦發行的《機械雜誌》內的一副刻畫。阿基米德說:「給我一個支點,我就可以撬起整個地球。」

早在舊石器時代晚期,古人就知道使用槓桿的原理來製作投槍器

[2] 考古學者认为,在古埃及4500多年前的金字塔時期,工人使用槓桿來移動、抬舉重量超過100英噸的方尖碑[3] 中国戰國时期,墨子在所著作的《墨子》一书中,提到應用杠杆的概念。[註 1][4][5]

大約在西元前330年,亞里斯多德在著作《機械問題》(《Mechanical Problems》)裏,對於槓桿有詳細的論述,並且基本而言使用虛功的現代概念推導出槓桿原理[6] 西元前3世紀,古希臘科學家阿基米德在著作《論平面圖形的平衡》裏用幾何方法推導出槓桿原理[7] 並且宣稱:「給我一個支點,我就可以撬動整個地球。」[註 2][8]

概述[编辑]

靜力平衡的槓桿。

由於槓桿內部有一點為固定點,槓桿只能繞著這固定點做旋轉運動。相對於這一點,槓桿不能做平移運動

  • 槓桿內部的固定點稱為「支點」。
  • 使槓桿旋轉的力 F_1 叫做「施力」,是輸入力。
  • 施力作用於槓桿的位置叫做「施力點」。
  • 阻碍槓桿旋轉的力 F_2 叫做「抗力」,是輸出力。
  • 抗力作用於槓桿的位置叫做「抗力點」。
  • 從支點到施力作用線的垂直距離 D_1 叫做「施力臂」。
  • 從支點到抗力作用線的垂直距離 D_2 叫做「抗力臂」。

理想槓桿不會耗散或儲存能量,也就是說,支點與硬棒之間不會出現任何摩擦損耗,硬棒是一種剛體,不會被彎曲,發生形變。注意到硬棒不一定是直棒。彎曲的硬棒形成的槓桿稱為「曲槓桿」。對於理想槓桿案例,輸入槓桿的功率等於槓桿輸出的功率。輸出力與輸入力之間的比率,等於這兩個作用力分別與支點之間垂直距離的反比率,稱這相等式為「槓桿原理」,以方程式表達:

F_2:F_1=D_1:D_2

或者,

F_1 D_1=F_2 D_2

定義力矩 M

M\ \stackrel{def}{=}\ F D

其中,F 是作用力,D 是作用力與支點之間的垂直距離。

則輸入力矩等於輸出力矩:

M_1=M_2

槓桿原理表明,當靜力平衡時,施力乘以施力臂等於抗力乘以抗力臂:

F_1 D_1=F_2 D_2

槓桿的分類[编辑]

靠著比較施力臂、抗力臂的長度,可以將槓桿分為三類:

  • 施力臂長於抗力臂的槓桿是「省力槓桿」,开瓶器撬棍等均为省力杠杆。
  • 抗力臂長於施力臂的是「費力槓桿」,大部分剪刀镊子筷子钓鱼竿火钳等均为费力杠杆。
  • 施力臂和抗力臂長度相等的槓桿是「等臂槓桿」,跷跷板天平等均为等臂杠杆。

另外一種分類法式依照施力點、抗力點、支點在槓桿的相對位置來分類。[9]

第一類槓桿[编辑]

Type 1 lever Chinese.jpg

第一類槓桿的施力點、抗力點分別在支點的兩邊。例如,鐵撬剪刀蹺蹺板天平老虎鉗

第二類槓桿[编辑]

Type 2 lever Chinese.jpg

第二類槓桿的施力點、支點分別在抗力點的兩邊。例如,獨輪車胡桃鉗。這是一種省力槓桿,可以施加較小的力量來移動較重的物體,但是施力的位移較長。

第三類槓桿[编辑]

Type 3 lever Chinese.jpg

第三類槓桿的抗力點、支點分別在施力點的兩邊。例如,鑷子掃把。這是一種費力槓桿,可以節省施力的位移。

槓桿原理[编辑]

槓桿是可以繞著支點旋轉的硬棒。當外力作用於槓桿內部任意位置時,槓桿的響應是其操作機制;假若外力的作用點是支點,則槓桿不會出現任何響應。

假設槓桿不會耗散或儲存能量,則槓桿的輸入功率必等於輸出功率。當槓桿繞著支點呈勻角速度旋轉運動時,離支點越遠,則移動速度越快,離支點越近,則移動速度越慢,由於功率等於作用力乘以速度,離支點越遠,則作用力越小,離支點越近,則作用力越大。

靜力平衡的槓桿。

機械利益是抗力與施力之間的比率,或輸出力與輸入力之間的比率。假設施力臂 D_1 、抗力臂 D_2 分別為施力點、抗力點與支點之間的距離,施力 F_1 、抗力 F_2 分別作用於施力點、抗力點。則機械利益 MA

MA = \frac{F_2}{F_1} = \frac{D_1}{D_2}

通常在學習槓桿的初級理論時,會聚焦於輸入力和輸出力由於虛位移而做的虛功。虛位移可以定義為物體的移動速度乘以虛時間。這樣定義導致計算的物理量是功率,而不是。這種方法有一個實在優點:在研究機械工程學機構學時,功率是主要計算的物理量。使用這種方法來對槓桿做靜力分析,就如同對於車子的傳動系統,或機械手臂做靜力分析,它們的機械利益的計算方式完全一樣。

複式槓桿[编辑]

指甲剪是一種常用的複式槓桿。

複式槓桿(compound lever)是一組耦合在一起的槓桿,前一個槓桿的抗力會緊接地成為後一個槓桿的施力。幾乎所有的磅秤都會應用到某種複式槓桿機制。其它常見例子包括指甲剪鋼琴鍵盤。1743年,英國伯明罕發明家約翰·外艾特在設計計重秤時,貢獻出複式槓桿的點子。他設計的計重秤一共使用了四個槓桿來傳輸負載。[10]

參閱[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^

    負:衡木加重焉而不撓,極勝重也。右校交繩,無加焉而撓,極不勝重也。衡加重於其一旁必捶,權重相若也。相衡則本短標長,兩加焉重相若,則標必下,標得權也。
    挈:有力也,引無力也。不正所挈之止於施也,繩制挈之也,若以錐刺之。挈,長重者下,短輕者上,上者愈得,下下者愈亡。繩直權重相若,則正矣。收,上者愈喪,下者愈得,上者權中盡,則遂。

    ——《墨子·经说下》第二六、二七条
  2. ^ 假設在與地心引力相同的均勻重力場做這表演,在一端為與地球質量相同的圓球,離支點距離1m,在另一端為70kg質量的實驗者,則實驗者與支點的距離為8.5×1022m。這距離大約是仙女座星系與地球之間距離的3.6倍。

參考文獻[编辑]

  1. ^ Moon, Francis; Moon, F. C., The machines of Leonardo da Vinci and Franz Reuleaux:kinematics of machines from the Renaissance to the 20th century illustrated, annotated, Springer, pp. 28, 2007, ISBN 9781402055980 
  2. ^ Humphrey, John. Ancient technology illustrated. Greenwood Publishing Group. 2006: 17–18. ISBN 9780313327636. 
  3. ^ Budge, E.A. Wallis. Cleopatra's Needles and Other Egyptian Obelisks‎. Kessinger Publishing. 2003: pp. 28. ISBN 9780766135246. 
  4. ^ 吴毓江,墨子校注,北京:中华书局,1993年,第533页
  5. ^ 墨子. 《經說下》. 中國哲學書電子化計劃. 
  6. ^ Cotterell, Brian; Kamminga, John, Mechanics of pre-industrial technology: an introduction to the mechanics of ancient and traditional material culture illustrated, reprint, Cambridge University Press, pp. 75–76, 1992, ISBN 9780521428712 
  7. ^ Usher, Abbott. A history of mechanical inventions revised, illustrated. Courier Dover Publications. 1988: pp. 94. ISBN 9780486255934. 
  8. ^ Mackay, Alan Lindsay. Archimedes ca 287–212 BC. A Dictionary of scientific quotations. London: Taylor and Francis. 1991: pp. 11. ISBN 9780750301060. 
  9. ^ Davidovits, Paul, Physics in Biology and Medicine, Third edition, Academic Press, pp. 10, 2008, ISBN 978-0-12-369411-9 
  10. ^ Ceccarelli, Marco. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science: Their Contributions and Legacies. Dordrecht: Springer. 2007: 16. ISBN 1402063652. "Then in 1743 John Wyatt (1700–1766) introduced the idea of the compound lever, in which two or more levers work together to further reduce effort." 

外部链接[编辑]

  • 中國古代機械工程網頁:槓桿