角速度

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角速度是用來描述轉動的速度以及該轉動發生當時的轉動軸方向。角速度向量的方向會在轉動軸方向上,在本例中(逆時針轉動)轉動向量是指向讀者的。

角速度Angular velocity)是在物理学中定义为角位移的变化率,描述物体轉動時,在单位时间内转过多少角度以及转动方向的矢量,(更准确地说,是赝矢量),通常用希腊字母Ωω来表示。

国际单位制中,单位是弧度每秒(rad/s)。在日常生活,通常量度單位時間內的轉動週數,即是每分鐘轉速(rpm),電腦硬盤和汽車引擎轉數就是以rpm來量度,物理學則以rev/min表示每分鐘轉動週數。

角速度的方向垂直于转动平面,可通过右手定则来确定。

质点的角速度[编辑]

二維坐標系[编辑]

位於P點的质点相對於O點的角速度是由其速度向量 "V" 垂直於OP連線分量來決定 。

一個质点在二維平面上的角速度是最基本的。 如右圖所示,假使從(O)點向(P)质点畫一條直線,則該粒子的速度向量(\mathbf{v})可分成在沿著徑向上分量(\mathrm{v}_\parallel\, - 徑向分量)以及垂直徑向的分量(\mathrm{v}_\perp - 切線方向分量).

由於粒子在徑向上的運動並不會造成相對於原點(O)的轉動,在求取該粒子的角速度時,可以忽略水平(徑向)分量。因此,轉動完全是由切線方向的運動所造成的(如同质点在繞著圓周運動),即角速度是完全由垂直(切線方向)的分量所決定的。 质点角度位置改變率與其切線方向速度的關係式如下:

\mathrm{v}_\perp=r\,\frac{d\phi}{dt}

定義角速度為 ω=dφ/dt, 而速度垂直分量 \mathrm{v}_\perp 等於 |\mathrm{\mathbf{v}}|\,\sin(\theta);其中 θ 是向量 rv夾角,則導出:

\omega=\frac{|\mathrm{\mathbf{v}}|\sin(\theta)}{|\mathrm{\mathbf{r}}|}

在二維坐標系中,角速度是一个只有大小没有方向的贗純量,而非純量。純量與贗純量不同的地方在於,當x 軸與y 軸對調時,純量不會因此而改變正負符號,然而贗純量卻會因此而改變。角度及角速度則是贗純量。以一般的定義,從 x 軸转向 y  軸的方向為轉動的正方向。倘若座標軸對調,而物體轉動不變,則角度的正負符號將會改變,因此角速度的正負號也跟著改變。

注意:角速度的正負號及數值量取決於原點位置及座標軸方向的選定。

三維坐標系[编辑]

在三維坐標系中,角速度變得比較複雜。在此狀況下,角速度通常被當作向量來看待;甚至更精確一點要當作偽向量。它不只具有數值,而且同時具有方向的特性。數值指的是單位時間內的角度變化率,而方向則是用來描述轉動軸的。概念上,可以利用右手定則來標示角速度偽向量的正方向。原則如下:

假設將右手(除了大拇指以外)的手指順著轉動的方向朝內彎曲,則大拇指所指的方向即是角速度向量的方向。

正如同在二維座標系的例子中,一個质点的移動速度相對於原點可以分成一個沿著徑向以及另一個垂直徑向的分量。舉例而言,原點與质点的速度垂直分量的組合可以定義一個轉動平面,质点在此平面上的行為就如同在二維坐標系中的狀況下,其轉動軸則是一條通過原點且垂直此平面的線,這個軸訂定了角速度偽向量的方向,而角速度的數值則是如同在二維座標系狀況下求得的偽純量的值。當定義一個指向角速度偽向量方向單位向量\hat{n}時,可以用類似二維坐標系的方式來表示角速度:

\boldsymbol\omega=\frac{|\mathrm{\mathbf{v}}|\sin(\theta)}{|\mathrm{\mathbf{r}}|}\,\hat{n}

再加上外積的定義,則可以寫成:

\boldsymbol\omega=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{|\mathrm{\mathbf{r}}|^2}

高维空间[编辑]

一般而言,在高維空間的角速度是一個二階斜對稱的角位移張量對時間的微分。此張量具有 n(n-1)/2 個獨立分量,其中"n(n-1)/2" 這個數字指的是在n-維內積空間中轉動李群李代數的維度。[1]

刚体角速度[编辑]

P點在剛體(以藍色表示)上的位置,Ri是以O 為中心在實驗室座標系上的位置;而ri是以O'  為中心在剛體座標系上的位置。此剛體座標系的原點則是在實驗室座標系中的向量位置R上。

為了處理剛體運動的問題,最好採用固定在剛體上的座標系統,然後再學習此座標系統與實驗室座標系統之間的座標轉換。如右圖所示,O 為實驗室座標系統的原點,而O'是剛體座標系統的原點,O 與 O' 之間的向量R。質點 (i)在剛體上P點的位置上,此質點在實驗室座標中的向量位置是Ri,而在剛體座標中的向量位置為ri。我們可以看到此質點的位置可以寫成:

\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i

刚体最重要的特征为任意两点之间距离不随时间变化。这意味着矢量\mathbf{r}_i 的长度是不变的。根据欧拉刚体的有限旋转定理,我们可以用\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}来代替\mathbf{r}_i,其中\mathcal{R} 代表旋转矩阵,而\mathbf{r}_{io} 是初始时刻的质点的位置。这个替代显得非常有意义,随时间变化的只有\mathcal{R},而不是相对矢量\mathbf{r}_{io}。對於刚体就O'旋转,质点的位置可以写为:

\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}

就质点的速度对时间微分,可以得到質點的速度:

\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathbf{r}_{io}

其中Vi是质点在實驗室座標中的速度,而V 是O'点(剛體座標的原點)的在實驗室座標中的速度,故质点的速度可以写成:

\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\boldsymbol\Omega\mathbf{r}_i

Ω是角速度张量,如果我们取角速度张量的对偶,我们即可得到角速度的伪矢量。

\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]

而矩陣的乘法可以用外積來取代,導出:

\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_i

由此可見,剛體中質點的速度可分解成兩項—剛體中某固定參考點的速度再加上一項包含該質點相對於此參考點的角速度的外積。相較於O'點對於O點的角速度,這個角速度是 “自旋” 角速度。

重要的是,每個在剛體中的質點具有相同的自旋角速度,此自旋角速度與剛體上或是實驗室座標系統的原點的選擇無關。換句話說,這是一個剛體特質所具有的真實物理量,與座標系統的選擇無關。然而剛體上的參考點相對於實驗室座標原點的角速度則和座標系統的選擇有關,為了方便起見,通常選擇該剛體的質心當作剛體座標系統的原點,這將大大地簡化以數學形式在剛體角動量的上的表達。

參考[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of the website of John Baez, especially Questions 1 and 2.