正多面體

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正多面體，或稱柏拉圖立體，指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的凸多面體。

[编辑] 命名由来

正多面體的別稱柏拉圖立體是因柏拉圖而命名的。柏拉圖的朋友特埃特圖斯告訴柏拉圖這些立體，柏拉圖便將這些立體寫在《提瑪友斯》內。正多面體的作法收錄《几何原本》的第13卷。在命題13描述正四面體的作法，命題14就是正八面體，命題15為立方體，命題16是正二十面體，命題17是正十二面體。

[编辑] 判断依据

判断正多面体的依据有三条

正多面体的面由正多边形构成
正多面体的各个顶角相等
正多面体的各条楞边都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称形，每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的，对正多面体加以变化就会导致对称性下降，如正十二面体属于Ih点群，当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

[编辑] 存在的正多面體

正多面體共有五個，均由古希臘人發現：

名稱	構成面	面	邊	頂點	幾何數據	所属点群
正四面體	等邊三角形	4	6	4	表面積： $\sqrt{3}a^2$ $\approx 1.732a^2$ 體積： ${1\over12}\sqrt{2}a^3$ $\approx 0.118a^3$ 二面角角度： $\arccos \frac 1 3$ $\approx 70^\circ 32'$ 外接球半徑： $\frac {\sqrt 6}{4} a$ $\approx 0.612 a$ 內接球半徑： $\frac {\sqrt 6}{12} a$ $\approx 0.204 a$ 對偶多面體：正四面體	Td群
立方體（正六面體）	正方形	6	12	8	表面積： $6a^2\$ 體積： $a^3\$ 二面角角度： $90^\circ$ 外接球半徑： $\frac {\sqrt 3} 2 a$ $\approx 0.866 a$ 內接球半徑： $\frac a 2$ 對偶多面體：正八面體	Oh群
正八面體	等邊三角形	8	12	6	表面積： $2\sqrt{3}a^2$ $\approx 3.464 a^2$ 體積： ${1\over3}\sqrt{2}a^3$ $\approx 0.471 a^3$ 二面角角度： $\arccos \left(-\frac 1 3 \right)$ $\approx 109^\circ 28'$ 外接球半徑： $\frac {\sqrt 2} 2 a$ $\approx 0.707a$ 內接球半徑： $\frac {\sqrt 6} 6 a$ $\approx 0.408a$ 對偶多面體：立方體	Oh群
正十二面體	正五邊形	12	30	20	表面積： $3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2$ $\approx 20.65a^2$ 體積： ${1\over4}(15+7\sqrt5)a^3$ $\approx 7.663a^3$ 二面角角度： $\arccos \bigg({-\frac{\sqrt 5}5}\bigg)$ $\approx 116^\circ 34'$ 外接球半徑： $\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} a$ $\approx 1.401 a$ 內接球半徑： $\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} }$ $\approx 1.114 a$ 對偶多面體：正二十面體	Ih群
正二十面體	等邊三角形	20	30	12	表面積： $5\sqrt3a^2$ $\approx 8.660a^2$ 體積： ${5\over12}(3+\sqrt5)a^3$ $\approx 2.182a^3$ 二面角角度： $\arccos \bigg({-\frac {\sqrt 5}3}\bigg)$ $\approx 138^\circ 11'$ 外接球半徑： $\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}$ $\approx 0.951 a$ 內接球半徑： $\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)$ $\approx 0.756 a$ 對偶多面體：正十二面體	Ih群

[编辑] 用途

因為正多面體的形狀的骰子會較公平，所以正多面體骰子經常出現於角色扮演游戏。

正四面體、立方體和正八面體，亦會自然出現於結晶體的結構。

正多面体经过削角操作可以得到其他对称性类似的结构，比如著名的球状分子碳六十空间结构就是正十二面体经过削角操作得到的，因此可以知道，碳六十分子所属的对称性群也是与正十二面体相同的Ih群

由于正多面体和由正多面体衍生的削角正多面体大多有很好的空间堆积性质，即可以在空间中紧密堆积，因此常常选择正多面体形或者削角正多面体形的盒子作为分子模拟计算的周期边界条件

除了上面提到的正十二面体，还有一种由正三角形构成的多面体——五角十二面体，五角十二面体是黄铁矿的一种可能的晶体结构，尽管五角十二面体也是由正三角形构成的，但是他并不是柏拉图体，它所属的对称性群也不是正十二面体的Ih群而是与立方体相同的Oh群。

[编辑] 象徵意義

柏拉圖視四個元素為原子，其形狀如正多面體中的其中四個。

火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體。
空氣是用正八面體製的，可以粗略感受到，它極細小的結合體十分順滑。
當水放到人的手上，它會自然流出，那它就應該是由很多小球所組成，好像正二十面體。
土與其他的元素相異，因為它可以被堆疊，正如立方體。

剩下沒有用的正多面體——正十二面體，柏拉圖以不清晰的語調寫：「神使用正十二面體以整理整個天空旳星座。」（提瑪友斯55）柏拉圖的學生亚里士多德添加了第五個元素——aithêr （希腊文：Αιθήρ、拉丁文：aether、中文：以太），並認為天空是用此組成，但他沒有將以太和正十二面體連繫。

约翰内斯·开普勒依隨文艺复兴建立數學對應的傳統，將五個正多面體對應五個行星——水星、金星、火星、木星和土星，同時它們本身亦對應了五個經典元素。

[编辑] 外部連結

查 • 論 • 編 • 歷几何术语
點	頂點 \| 交點 \| 中點 \| 角
直線和曲線	線段 \| 射線 \| 直線 \| 切線 \| 法线 \| 曲線 \| 圓錐曲線 \| 双曲线 \| 抛物线 \| 螺線 \| 邊 \| 周界 \| 弦
平面圖形	圓 \| 橢圓 \| 扇形 \| 弓形 \| 多邊形 \| 三角形 \| 四邊形 \| 五边形 \| 六边形 \| 梯形 \| 平行四邊形 \| 菱形 \| 矩形 \| 正方形 \| 鷂形
立體圖形	多面體 \| 正多面體 \| 長方體 \| 立方體 \| 圓柱體 \| 四面体 \| 平行六面体 \| 棱柱 \| 反棱柱 \| 棱錐 \| 圓錐 \| 圓台 \| 橢球 \| 球體 \| 球缺 \| 球冠 \| 二次曲面 \| 抛物面 \| 雙曲面
圖形關係	相似 \| 全等 \| 对称 \| 平行 \| 垂直 \| 相邻 \| 相交 \| 相切 \| 镜像 \| 旋转 \| 反演
三角形關係	相似三角形 \| 全等三角形
量	距離 \| 長度 \| 周长 \| 高度 \| 面積 \| 表面積 \| 體積 \| 角度
作圖	尺子（直尺） \| 圓規 \| 尺規作圖
理論	定理 \| 公理 \| 定义 \| 證明