有限幾何學

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數學中,有限幾何是滿足某些幾何學公理,但僅含有限個的幾何系統。歐氏幾何並非有限,因為它必包含一條歐氏直線,其上的點一一對應於實數

有限幾何系統可以依維度分類,為簡單起見,以下僅介紹低維度的情形。

有限平面[编辑]

有限平面幾何可以分為仿射射影兩類。在仿射空間中可以探討平行性,射影空間則否。

定義. 仿射平面是一個非空集 X(其成員稱為)及一族 X 的子集 L(其成員稱為),使之滿足下述條件:

  1. 任兩點包含於唯一的一條線。
  2. 平行公設:給定線 \ell 及點 p \notin \ell,存在唯一的線 \ell' 使之包含 p\ell=\ell'\ell \cap \ell' = \emptyset
  3. 存在四個點,其中任三點不共線。

最後一條公設保證幾何非空,前兩條公設確定了幾何的性質。

最簡單的仿射平面由四點構成,其中任兩點決定唯一一條線,所以此平面有四條線。這可以設想為四面體的頂點與邊。

一般而言,n階仿射平面有 n^2 個點與 n^2+n 條線;每條線含 n 點,每點落於 n+1 條線。

定義. 射影平面是一個非空集 X(其成員稱為)及一族 X 的子集 L(其成員稱為),使之滿足下述條件:

  1. 任兩點包含於唯一的一條線。
  2. 任兩條相異的線交於唯一一點。
  3. 存在四個點,其中任三點不共線。
Fano 平面的圖解

在上述公理中,我們可以交換點及線的角色,這蘊含了射影幾何的對偶性:若射影幾何的某命題成立,則將命題中的點與線互換後,新命題依然成立。

最簡單的射影平面稱作 Fano 平面,又稱二階射影平面,由七條線及七個點構成。若除去任一直線(及其上之點),將得到二階仿射平面。

一般而言,n 階射影平面的點、線個數均為 n^2+n+1,每條線含 n+1 個點,每個點落於 n+1 條線。

對任意正整數 nn 階射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是這種幾何存在當且僅當 n素數冪。

有限幾何的對稱群[编辑]

若一映射 f: X \to X 保存共線關係,則稱之為 X對稱(或自同構)。Fano 平面的對稱群同構於 \mathrm{PSL}(2, \mathbb{F}_7) ,有 168 個元素。

外部連結[编辑]