平行公設

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
如果α和β的內角和小於180°,則兩直線不斷延伸,在這一側相交。

平行公設英语Parallel postulate),也稱為歐幾里得第五公設,因是《幾何原本》五條公設的第五條而得名。這是歐幾里得幾何一條與別不同的公理,比前四條複雜。公設是說:

如果一條線段與兩條直線相交,在某一側的內角和小於兩直角和,那麼這兩條直線在不斷延伸後,會在內角和小於兩直角和的一側相交。

假定所有歐幾里得公設(當中包括平行公設)都成立的幾何称为歐幾里得幾何。假定平行公設不成立的稱為非歐幾里得幾何。不依賴於平行公設的幾何,也就是只假設前四條公設的,稱為仿射幾何

歐幾里得幾何的有些性質與平行公設等價,也就是假設平行公設成立,可推導出這些性質,反过来假設這些性質的一項為公理,也可以推導出平行公設。其中最重要的一項,也是最常作為公理代替平行公設的,要算是蘇格蘭數學家约翰·普莱费尔提出的普莱费尔公理

給定一條直線,通過此直線外的任何一點,有且只有一條直線與之平行。

这里有个问题要提出来,即在证明第五公设时,平面是不加定义,如果平面作如下定义:满足第五公设的面定义为平面。这实际上可用公理法对平面作定义。如果有这定义,第五公设是自明的。这才符合我们的直观

歷史[编辑]

很多人嘗試用前四條公設證明平行公設都不成功,反而創造了違反平行公設的雙曲幾何。最後由意大利數學家貝爾特拉米(Eugenio Beltrami)證明了平行公設獨立於前四條公設。

等價命題[编辑]

很多與平行公設等價的命題,似乎與平行線無關。有些性質更看似很明顯,因而被一些聲稱證明了平行公設的人不經意用到了。這裡是一些命題:

  1. 三角形內角和為兩直角。
  2. 所有三角形的內角和都相等。
  3. 存在一對相似但不全等的三角形。
  4. 所有三角形都有外接圓。
  5. 四邊形三個內角是直角,那麼第四個內角也是直角。
  6. 存在一對等距的直線。
  7. 若兩條直線都平行於第三條,那麼這兩條直線也平行。