射影几何

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射影几何是一種非度規形式的几何学。首先由Desargues於17世紀發展,一直到19世紀初期透過Jean-Victor Poncelet與其他人的努力,而成為數學中一個顯著的分支。射影幾何源自於美術上的透視法原則

表述[编辑]

射影几何可以用公理化一阶逻辑理论形式表述,它的全集包括「」和「线」。因此,有两类元素集合,一个的成员是点另一个的成员是线。有一个原始的二元关系,称为“重合”,它关联点和线,用介词“在...上”表示:点P在线L上。对象AB“不同”,如果A=B为假。公理包括(Eves 1997: 111):

  • 任何两个不同点位于唯一一条直线上;
  • 每条线上至少有三个不同点;
  • 给定任意直线,存在不在线上的一点;
  • 给定任意两个不同直线,存在一点同时在两条线上(任意两条不同线有公共点)。

任何无限几何可以作为射影几何的特殊情况,这是通过加入所需的元素概念和公理达成的。

1825年,Joseph Gergonne 發現了對偶原理:對任何平面射影幾何中的定理,若將其中的「點」、「線」對易,則陳述依然成立。簡單地說,其原因是射影幾何的公理對「點」、「線」二者是對稱的。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Coxeter, H. S. M., 1995. The Real Projective Plane, 3rd ed. Springer Verlag.
  • --------, 2003. Projective Geometry, 2nd ed., Springer Verlag.
  • Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
  • Edward, Lawrence, Projective Geometry.
  • --------, The Vortex of Life.
  • Howard Eves, 1997. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 3rd ed. Dover.
  • Locher-Ernst, Louis, Space and Counterspace.
  • Oswald Veblen and J. W. A. Young, 1938-46. Projective Geometry, 2 vols. New York: Blaisdell.

外部连接[编辑]

  • Notes based on Coxeter's The Real Projective Plane.