帕斯卡定理

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帕斯卡定理圆锥曲线的内接六边形其三条对交点共线。它与布列安桑定理对偶,是帕普斯定理的推广。

该定理由法国数学家布莱士·帕斯卡于16岁时提出但並未證明,是射影几何中的一个重要定理

证明[编辑]

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如图,圆锥曲线是一圆,圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G,边BC、EF的延长线交于点H,边CD、FA的延长线交于点K。

Pascaltheorem.png

延长AB、CD、EF,分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点,构成△LMN。

直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点,则\frac{LB}{MB}\cdot\frac{MC}{NC}\cdot\frac{NH}{LH}=1…①

直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点,则\frac{LG}{MG}\cdot\frac{MD}{ND}\cdot\frac{NE}{LE}=1…②

直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点,则\frac{LA}{MA}\cdot\frac{MK}{NK}\cdot\frac{NF}{LF}=1…③

连BE,则LA·LB=LF·LE,∴…④。同理\frac{MA}{MD}\cdot\frac{MB}{MC}=1…⑤,\frac{NC}{NF}\cdot\frac{ND}{NE}=1…⑥。

将①②③④⑤⑥相乘,得\frac{NH}{LH}\cdot\frac{LG}{MG}\cdot\frac{MK}{NK}=1

∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上,∴H、G、K三点共线。

其餘圓錐曲線[编辑]

任何非退化圓錐曲線皆可經由投影變換投影成圓,故帕斯卡定理於其他圓錐曲線亦成立。

参见[编辑]