二次曲面

二次曲面指任何n維的超曲面，其定義為多元二次方程的解的軌跡。

在座標$\{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\}$，二次曲面的定義為代數方程 ：

$\sum_{i,j=0}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=0}^D P_i x_i + R = 0$。

上式亦可以用矩陣乘法和向量的內積等概念，寫成以下形式：

$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix};$　$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix};$　$\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$

$\langle A\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle+2\langle\mathbf{b},\mathbf{x}\rangle+c=0$

二次曲面是代數簇的一種。

例子

橢球面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \,$
類球面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,$
球面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,$
橢圓拋物面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \,$
圓拋物面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0 \,$
雙曲拋物面	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0 \,$
單葉雙曲面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \,$
雙葉雙曲面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \,$
錐面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,$
橢圓柱面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \,$
圓柱面	${x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1 \,$
雙曲柱面	${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \,$
拋物柱面	$x^2 + 2ay = 0 \,$

引用

• 埃里克·韦斯坦因, Quadric at MathWorld