集合论
集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含集合和元素（或稱為成員）關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。
現代集合論的研究1870年代由康托爾及理察·戴德金的是樸素集合論開始，在樸素集合論中，集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念，沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生許多悖論後，二十世紀初期提出了許多公理化集合論，其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論，簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員，而是先規範可以描述其性質的一些公理。
集合論常被視為數學基礎之一，特別是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論。除了其基礎的作用外，集合論也是數學理論中的一部份，當代的集合論研究有許多離散的主題，從實數線的結構到大基数的一致性等。
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歷史 [编辑]
現代集合論的研究開始於1870年代由康托爾及理察·戴德金提出的樸素集合論。一般數學主題的出現及發展都是由多名研究者的互動中產生的，但樸素集合論的開始是1874年康托爾的一篇論文《On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers》[1][2]。
從西元前五世紀時，數學家們就在研究有關無窮的性質，最早期是希臘數學家芝諾和印度數學家，十九世紀時伯納德·波爾查諾在此領域有相當的進展[3]。現在對於無限的了解是從1867–71年康托爾在數論上的研究開始，1872年康托爾和理查德·戴德金的一次聚會影響了康托爾的理念，最後產生了1874年的論文。
當時的數學家對康托爾的研究有二種完全不同的反應：卡尔·魏尔斯特拉斯及理查德·戴德金支持康托爾的研究，而像利奥波德·克罗内克等数学结构主义則持反對態度。康托爾的研究後來廣為流傳，原因是因為集合中的双射等概念，康托爾對於實數較整數多的證明，及像冪集所產生「無窮的無窮」的概念。這些概念最後成為1898年克莱因的百科全书中的《Mengenlehre》（集合論）條目。
在1900年左右大家發現樸素集合論會產生許多矛盾的情形，稱為二律背反或是悖论，伯特兰·罗素和恩斯特·策梅洛均發現了最簡單的悖论，也就是現在的罗素悖论：考慮「由所有不包含集合自身的集合所構成的集合」，此集合是否是集合本身的成員？若此集合也是集合本身的成員，則依定義（不包含集合自身的集合），此集合就不是集合本身的成員。若此集合不是集合本身的成員，則依定義，此集合就是集合本身的成員，因此產生矛盾。罗素悖论也造成了第三次數學危機。
1899年時康托爾自已也提出一個是悖论的問題「一個由所有集合形成的集合，其基數為何？」因而產生康托尔悖论。康托爾在1903年所著的《数学原理》中也用此悖論來評論當時的歐陸數學。
不過上述的爭論沒有使數學家放棄集合論，恩斯特·策梅洛及亞伯拉罕·弗蘭克爾分別在1908年和1922年的研究．最後產生了策梅洛-弗兰克尔集合论的許多公理。昂利·勒貝格等人在實分析上的研究用到集合論中的許多數學工具，後來集合論也成為近代數學的一部份。集合論已被視為是數學的基礎理論，不過在一些領域中范畴论可能是更適合的基礎理論。
對集合論的異議 [编辑]
一開始，有些數學家反對將集合論當做數學基礎，認為這只是一場含有「奇幻元素」的遊戲。對集合論最常見的反對意見來自數學結構主義者（像是利奥波德·克罗内克），他們認為數學多少都和計算有些關係的，但樸素集合論卻加入了非計算性的元素。
埃里特·比修普駁斥集合論是「上帝的數學，應該留給上帝」。而且，路德維希·維根斯坦特別對無限的操作有疑問，這也和策梅羅-弗蘭克爾集合論有關。維根斯坦對於數學基礎的觀點曾被保羅·貝奈斯所批評，且被克里斯平·賴特等人密切研究過[4]。
拓撲斯理論曾被認為是傳統公理化集合論的另一種選擇。拓樸斯理論可以被用來解釋各種集合集的替代方案，如數學結構主義、模糊集合論、有限集合論和可計算集合論等[5]。
相關條目 [编辑]
- 集合這一條目給出初等集合論的一些基本的介紹。
- 集合論主題列表
- 樸素集合論是由19世紀末的德國數學家康托爾最早提出的集合論。
- 公理化集合論是一個嚴謹的公理化數學分支，是因為發現了樸素集合論中的一些嚴重缺陷（如羅素悖論）後發展出來的。
- 策梅羅集合論是由德國數學家恩斯特·策梅洛創立的一套公理系統。
- 約略集合論提供了一個以上下近似來表示集合的方法。
- 策梅羅-弗蘭克爾集合論是最常用的公理化集合論，由亞伯拉罕·弗蘭克爾和陶拉爾夫·斯科倫擴展了策梅羅集合論所得。
- 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論是設計生成同策梅羅-弗蘭克爾集合論與選擇公理一起同樣結果的集合論公理系統，但只有有限數目的公理而不使用公理模式。
- 新基礎集合論和正集合論是已被提出的可替代的集合論之中的一部份。
- 內集合論是公理化集合論的擴張，允許無窮小量和其他「非標準」的數字存在。
- 不同的邏輯會有相應類型的集合（如模糊邏輯中的模糊集合）。
- 音樂集合理論將組合數學和群論應用在音樂上；但事實上，它只使用有限集，這在數學上不論任何一種類型的集合論都不會有所差異。最近兩個年代以來，音樂中的轉換理論已採用較為嚴謹的數學集合論。
- 範疇論也以抽象的方法來處理數學概念。
- 關聯模型有借用集合论中的一些概念。
參考資料 [编辑]
- ^ Cantor, Georg, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, J. Reine Angew. Math.. 1874, 77: 258–262
- ^ Johnson, Philip, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt. 1972, ISBN 0-87150-154-6
- ^ Bolzano, BernardBerg, Jan, ., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., Vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag. 1975: 152, ISBN 3-7728-0466-7
- ^ John Francis. Philosophy Of Mathematics. Global Vision Publishing Ho. 2008: 86. ISBN 8182202671.
- ^ Ferro, A.; Omodeo, E. G.; Schwartz, J. T., Decision procedures for elementary sublanguages of set theory. I. Multi-level syllogistic and some extensions, Comm. Pure Appl. Math.. 1980, 33 (5): 599–608, doi:10.1002/cpa.3160330503
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