集合论

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

集合論集論是研究集合(由一堆抽象物件英语Abstract object構成的整體)的數學理論,包含集合和元素(或稱為成員)關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中,集合論提供了要如何描述數學物件英语mathematical objects的語言。集合論和邏輯一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎,以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。

現代集合論的研究1870年代由康托爾理察·戴德金的是樸素集合論開始,在樸素集合論中,集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念,沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生許多悖論英语Paradoxes of set theory後,二十世紀初期提出了許多公理化集合論,其中最著名的是包括選擇公理策梅洛-弗蘭克爾集合論,簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員,而是先規範可以描述其性質的一些公理

集合論常被視為數學基礎之一,特別是包括選擇公理策梅洛-弗蘭克爾集合論。除了其基礎的作用外,集合論也是數學理論中的一部份,當代的集合論研究有許多離散的主題,從實數線的結構到大基数一致性等。

目录

歷史 [编辑]

康托爾

現代集合論的研究開始於1870年代由康托爾理察·戴德金提出的樸素集合論。一般數學主題的出現及發展都是由多名研究者的互動中產生的,但樸素集合論的開始是1874年康托爾的一篇論文《On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers》[1][2]

從西元前五世紀時,數學家們就在研究有關無窮的性質,最早期是希臘數學家芝諾和印度數學家,十九世紀時伯納德·波爾查諾在此領域有相當的進展[3]。現在對於無限的了解是從1867–71年康托爾在數論上的研究開始,1872年康托爾和理查德·戴德金的一次聚會影響了康托爾的理念,最後產生了1874年的論文。

當時的數學家對康托爾的研究有二種完全不同的反應:卡尔·魏尔斯特拉斯及理查德·戴德金支持康托爾的研究,而像利奥波德·克罗内克数学结构主义則持反對態度。康托爾的研究後來廣為流傳,原因是因為集合中的双射等概念,康托爾對於實數較整數多的證明,及像冪集所產生「無窮的無窮」的概念。這些概念最後成為1898年克莱因的百科全书英语Klein's encyclopedia中的《Mengenlehre》(集合論)條目。

在1900年左右大家發現樸素集合論會產生許多矛盾的情形,稱為二律背反或是悖论伯特兰·罗素恩斯特·策梅洛均發現了最簡單的悖论,也就是現在的罗素悖论:考慮「由所有不包含集合自身的集合所構成的集合」,此集合是否是集合本身的成員?若此集合也是集合本身的成員,則依定義(不包含集合自身的集合),此集合就不是集合本身的成員。若此集合不是集合本身的成員,則依定義,此集合就是集合本身的成員,因此產生矛盾。罗素悖论也造成了第三次數學危機。

1899年時康托爾自已也提出一個是悖论的問題「一個由所有集合形成的集合,其基數為何?」因而產生康托尔悖论。康托爾在1903年所著的《数学原理英语The Principles of Mathematics》中也用此悖論來評論當時的歐陸數學。

不過上述的爭論沒有使數學家放棄集合論,恩斯特·策梅洛亞伯拉罕·弗蘭克爾英语Abraham Fraenkel分別在1908年和1922年的研究.最後產生了策梅洛-弗兰克尔集合论的許多公理。昂利·勒貝格等人在實分析上的研究用到集合論中的許多數學工具,後來集合論也成為近代數學的一部份。集合論已被視為是數學的基礎理論,不過在一些領域中范畴论可能是更適合的基礎理論。

對集合論的異議 [编辑]

一開始,有些數學家反對英语Controversy over Cantor's theory將集合論當做數學基礎,認為這只是一場含有「奇幻元素」的遊戲。對集合論最常見的反對意見來自數學結構主義者(像是利奥波德·克罗内克),他們認為數學多少都和計算有些關係的,但樸素集合論卻加入了非計算性的元素。

埃里特·比修普英语Errett Bishop駁斥集合論是「上帝的數學,應該留給上帝」。而且,路德維希·維根斯坦特別對無限的操作有疑問,這也和策梅羅-弗蘭克爾集合論有關。維根斯坦對於數學基礎的觀點曾被保羅·貝奈斯英语Paul Bernays所批評,且被克里斯平·賴特英语Crispin_Wright等人密切研究過[4]

拓撲斯理論曾被認為是傳統公理化集合論的另一種選擇。拓樸斯理論可以被用來解釋各種集合集的替代方案,如數學結構主義模糊集合論、有限集合論和可計算集合論等[5]

相關條目 [编辑]

參考資料 [编辑]

  1. ^ Cantor, Georg, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, J. Reine Angew. Math.. 1874, 77: 258–262 
  2. ^ Johnson, Philip, A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt. 1972, ISBN 0-87150-154-6 
  3. ^ Bolzano, BernardBerg, Jan, ., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., Vol. II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag. 1975:  152, ISBN 3-7728-0466-7 
  4. ^ John Francis. Philosophy Of Mathematics. Global Vision Publishing Ho. 2008: 86. ISBN 8182202671. 
  5. ^ Ferro, A.; Omodeo, E. G.; Schwartz, J. T., Decision procedures for elementary sublanguages of set theory. I. Multi-level syllogistic and some extensions, Comm. Pure Appl. Math.. 1980, 33 (5): 599–608, doi:10.1002/cpa.3160330503