集合论

集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含集合和元素(或稱為成員)關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。

在樸素集合論中，集合是被當做一堆物件構成的整體之類的自證概念。

在公理化集合論中，集合和集合成員並不直接被定義，而是先規範可以描述其性質的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點和線，而不被直接定義。

對集合論的異議

一開始，有些數學家拒絕將集合論當做數學的基礎，認為這只是一場含有奇幻元素的遊戲。埃里特·比修普駁斥集合論是「上帝的數學，應該留給上帝」。而且，路德維希·維根斯坦特別對無限的操作有疑問，這也和策梅羅-弗蘭克爾集合論有關。維根斯坦對於數學基礎的觀點曾被保羅·貝奈斯所批評，且被克里斯平·賴特等人密切研究過。

對集合論最常見的反對意見來自結構主義者，他們認為數學是和計算些微相關著的，但樸素集合論卻加入了非計算性的元素。

拓樸斯理論曾被認為是傳統公理化集合論的另一種選擇。拓樸斯理論可以被用來解譯各種集合集的替代方案，如結構主義、模糊集合論、有限集合論和可計算集合論等。

另見

• 集合這一條目給出初等集合論的一些基本的介紹。
• 集合論主題列表
• 樸素集合論是由19世紀末的德國數學家康托爾最早提出的集合論。
• 公理化集合論是一個嚴謹的公理化數學分支，是因為發現了樸素集合論中的一些嚴重缺陷（如羅素悖論）後發展出來的。
• 策梅羅集合論是由德國數學家恩斯特·策梅洛創立的一套公理系統。
• 約略集合論提供了一個以上下近似來表示集合的方法。
• 策梅羅-弗蘭克爾集合論是最常用的公理化集合論，由亞伯拉罕·弗蘭克爾和陶拉爾夫·斯科倫擴展了策梅羅集合論所得。
• 馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論是設計生成同策梅羅-弗蘭克爾集合論與選擇公理一起同樣結果的集合論公理系統，但只有有限數目的公理而不使用公理模式。
• 新基礎集合論和正集合論是已被提出的可替代的集合論之中的一部份。
• 內集合論是公理化集合論的擴張，允許微元和其他「不合規範」的數字存在。
• 不同的邏輯會有相應類型的集合（如模糊邏輯中的模糊集合）。
• 音樂集合理論將組合數學和群論應用在音樂上；但事實上，它只使用有限集，這在數學上不論任何一種類型的集合論都不會有所差異。最近兩個年代以來，音樂中的轉換理論已採用較為嚴謹的數學集合論。
• Chechulin, V. L. Set theory with selfconsidering (foundation and some applications): monography / V. L. Chechulin; Perm State University.— Perm (Russia), 2010.— 100 p. ISBN 978-5-7944-1468-4 http://www.psu.ru/psu/files/4773/Soderzhanie.doc 文本可供下載網站上elibrary.ru註冊用戶從頁面 http://elibrary.ru/item.asp?id=15267103