全集

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
文氏圖的全集、餘集的關係。

数学上,特别是在集合论数学基础的应用中,全类(若是集合,则为全集)大约是这样一个类,它(在某种程度上)包含了所有的研究对象和集合

在特定场合下[编辑]

这个一般概念有數個精确的版本。 最简单的可能就是,任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候,这个集合就是全集。 若研究实数,则所有实数的集合实数线 R 就是全集。 在1870年代和1880年代,康托尔第一次发展现代朴素集合论的概念以應用於实分析,這時他默认地使用著的全集就是实数线R。 康托尔一开始关心的也只是 R子集

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。 在文氏图中,所有的操作按例都是在一个表示全集 U 的大长方形內進行。 集合通常表示为圆形,但这些集合只能是 U 的子集。 集合 A补集则为长方形中表示 A 的圆形的外面的部分。 严格地说,这是 AU相对补集 U \ A ;但在 U 是全集的场合下,这可以被当成是 A绝对补集 AC。 同样的,有一個稱為空交集的概念,即个集合的交集(指没有集合,而不是空集)。 要是没有全集,空交集就會是所有东西组成的集合,这一般被认为是不可能的;但有了全集,空交集可以被当成是有条件(即 U)下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时,这种惯例非常有用。 但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此,例如新基础集合论,这里所有集合的并不是布尔格,而仅仅是相对有补格。 相反,U幂集,即 U 的所有子集组成的集合,是一个布尔格。 上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集 U 则作为布尔格中的最大元(或空)。 这里,适用于补运算、交运算和并运算(集合论中的并集)的德·摩根律成立,而且对空交和空并(即空集)也成立。

在一般数学中[编辑]

然而,當考虑過给定集合 X 的子集(在康托尔的例子中,X = R),可能就会进一步关心 X 的子集组成的集合。 (例如:X 上的一个拓扑就是一个 X 的子集组成的集合。) 这些不同的 X 的子集组成的集合本身,一般而言并不是 X 的子集,却是 X 的幂集 PX 的子集。 当然,这还没有完;可以进一步考虑 X 的子集组成的集合所组成的集合,等等。 另一个方向是:可以考慮笛卡尔积 X × X,或从 X 映射到其自身的函数。 接著,還可以考慮笛卡尔积上的函数,或从 X 映射到 X × PX 的函数,等等。

这样,尽管主要关心的是 X,仍然需要一个比 X 大很多的全集。 顺着上面的思路,可能需要 X 上的超结构。 这可以通过结构递归来定义,如下:

  • S0XX 自身。
  • S1XXPX并集
  • S2XS1XP(S1X) 的并集。
  • 一般的,设 Sn+1XSnXP(SnX) 的并集。

X 上的超结构,写作 SX,为 S0XS1XS2X,等等,的并集;或

 \mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \!

注意到,无论初始集合 X 如何,空集总是属于 S1X。 重定义空集为冯·诺伊曼序数 [0]。 则 {[0]},是仅含有空集為元素的集合,属于 S2X;定义为冯·诺伊曼序数 [1]。 类似的,{[1]} 属于 S3X,则 {[0]} 和 {[1]} 的并集 {[0],[1]} 也属于该集合;定义为冯·诺伊曼序数 [2]。 重复这个过程,所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。 然后,若 xy 属于这个超结构,则 {{x},{x,y}}(这个集合表示了有序对 (x,y))也属于它。 从而,这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。 而且,这个超结构也包含各种函数关系,因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。 以及,还能够得到有序 n 元组,表示定義域为冯·诺伊曼序数 [n] 的函数。 等等。

所以,就算仅从 X = {} 出发,也可以构造大量的用于数学研究的集合,它们都是在 {} 上的超结构裡的某個元素。 但是,這樣S{} 的每个元素都會是有限集合。 每个自然数都属于 S{},但“所有”自然数的集合 N 不属于 S{}(尽管它是 S{} 的“子集”)。 实际上,X 上的超结构包含了所有的遗传有限集合。 这样,它可以被认为是“有限主义数学的全集”。 可以想像一下,假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克當時能使用到这个全集的話;他會相信每个自然数都存在,而集合 N(一个"完全的无穷大")則不然。

然而,对一般的数学家(它们不是有限主义者)来说,S{} 是不足够的,因为尽管 NS{} 的子集,但 N 的幂集仍然不是。 特别的,任意的实数集合都不是。 所以,需要重新开始这个过程,来构造 S(S{})。 不過,為简单起见,就只用给出的自然数集合 N 来构造 SN,即N 上的超结构。 这通常被认为是“一般数学的全集”。 其意思是指,一般研究的所有數學對象,都已作為这个全集的元素而包含其中。 例如:任何通常的实数的构造方式(比如通過戴德金分割)都會属于 SN。 即使是非标准分析,也能够在自然数的一個非标准模型上的超结构中进行。

應當注意,这個部分在觀念上有些改变,这裡全集是任何被关心的集合 U。 上个部分中,被研究的集合是全集的子集;而现在,它们是全集的元素。 这样尽管 P(SX) 是一个布尔格,但相应的 SX 不是。 因此,几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集;在上个部分中,它们被用来描述幂集式的全集。 作为替代,可以采用独立的布尔格 PA,这里 ASX 中任意相应的集合;则 PASX 的子集(实际上它属于 SX)。

在集合论中[编辑]

正式來說,可以給出一個精确定义,來說明為何 SN 为一般數學的全集;这是策梅洛集合论模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。 策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学,完成了康托尔在三十年之前开始的课题。 但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作,特别是模型论,是不够的。 举一个戏剧性的例子:上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成! 最后一步,构造 S 成为一个无限并集,需要代换公理;这条公理在1922年被加入策梅洛集合论,成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。 所以,尽管一般数学可以在 SN 进行, SN 的讨论則不再"一般",而是轉向元数学的領域。

但是,若在超级的集合论中,可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。 回到 X = {}(空集),并用(标准的)符号 Vi 表示 Si{}。 则有 V0 = {}, V1 = P{},等等,和前面一样。 但是,所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项:Vω,这里 ω 为第一个无穷序数。 按照序数知识,得到:

 V_{i} := \bigcup_{j<i} \mathbf{P}V_j \!

可以对任意序数 i 定义 Vi。 所有 Vi 的并集为冯·诺伊曼全集 V

 V := \bigcup_{i} V_{i} \!

注意,每个单独的 Vi 都是集合,但他们的并集 V 是一个真类。 跟代换公理差不多时候加入ZF 系统正则公理斷言,每个集合都属于 V