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文氏圖的全集、餘集的關係。

数学上,特别是在集合论数学基础的应用中,全类(若是集合,则为全集)大约是这样一个类,它(在某种程度上)包含了所有的研究对象和集合

在特定场合下[编辑]

这个一般概念有一些精确的版本。 最简单的可能就是,任意集合都可能是全集。当研究一个特定集合的时候,这个集合就是全集。 若研究实数,则所有实数的集合实数线 R 就是全集。 这是康托尔在1870年代和1880年代运用实分析第一次发展现代朴素集合论和集合的的时候默认的全集。 康托尔一开始只关心 R子集

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。 在文氏图中,操作传统上发生在一个表示全集 U 的大长方形中。 集合通常表示为圆形,但这些集合只能是 U 的子集。 集合 A补集则为长方形中表示 A 的圆形的外面的部分。 严格地说,这是 AU相对补集 U \ A ;但在 U 是全集的场合下,这可以被当成是 A绝对补集 AC。 同样的,有空交集的概念,即个集合的交集(指没有集合,而不是空集)。 没有全集,空交集将是所有东西组成的集合,这一般被认为是不可能的;但有了全集,空交集可以被当成是有条件(即 U)下的所有东西组成的集合。

这种惯例在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时非常有用。 但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此,例如新基础集合论,这里所有集合的并不是布尔格,而仅仅是相对有补格。 相反,U幂集,即 U 的所有子集组成的集合,是一个布尔格。 上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集 U 则作为布尔格中的最大元(或空)。 这里,适用于补运算、交运算和并运算(集合论中的并集)的德·摩根律成立,而且对空交和空并(即空集)也成立。

在一般数学中[编辑]

然而,一旦考虑了给定集合 X 的子集(在康托尔的例子中,X = R),就会进一步关心 X 的子集组成的集合。 (例如:X 上的一个拓扑就是一个 X 的子集组成的集合。) 这些不同的 X 的子集组成的集合本身并不是 X 的子集,却是 X 的幂集 PX 的子集。 当然,这还没有完;可以进一步考虑 X 的子集组成的集合所组成的集合,等等。 另一个方向是:可以关心笛卡尔积 X × X,或从 X 映射到其自身的函数。 那么,可以得到笛卡尔积上的函数,或从 X 映射到 X × PX 的函数,等等。

这样,尽管主要关心的是 X,仍然需要一个比 X 大很多的全集。 顺着上面的思路,可能需要 X 上的超结构。 这可以通过结构递归来定义,如下:

  • S0XX 自身。
  • S1XXPX并集
  • S2XS1XP(S1X) 的并集。
  • 一般的,设 Sn+1XSnXP(SnX) 的并集。

X 上的超结构,写作 SX,为 S0XS1XS2X,等等,的并集;或

 \mathbf{S}X := \bigcup_{i=0}^{\infty} \mathbf{S}_{i}X \mbox{.} \!

注意到,无论初始集合 X 如何,空集总是属于 S1X。 重定义空集为冯·诺伊曼序数 [0]。 则 {[0]},仅含有元素空集的集合,属于 S2X;定义为冯·诺伊曼序数 [1]。 类似的,{[1]} 属于 S3X,则 {[0]} and {[1]} 的并集 {[0],[1]} 也属于该集合;定义为冯·诺伊曼序数 [2]。 重复这个过程,所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。 然后,若 xy 属于这个超结构,则 {{x},{x,y}}(这个集合表示了有序对 (x,y))也属于它。 从而,这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。 而且,这个超结构也包含各种函数关系,因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。 以及,还能够得到有序 n 元组,表示为域为诺伊曼序数 [n] 的函数。 等等。

所以,若仅从 X = {} 出发,可以构造大量的用于数学研究的集合,它们的元素属于 {} 上的超结构 S{}。 但是,S{} 的每个元素都是有限集合。 每个自然数都属于 S{},但“所有”自然数的集合 N 不属于 S{}(尽管它是 S{} 的“子集”)。 实际上,X 上的超结构包含了所有的遗传有限集合。 这样,它可以被认为是“有限主义数学的全集”。 若有机会的话,可以建议19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克使用这个全集;他相信每个自然数都存在但集合 N(一个"完全的无穷大")不存在。

然而,对一般的数学家(它们不是有限主义者)来说,S{} 还不够,因为尽管 NS{} 的子集,但 N 的幂集仍然不是。 特别的,任意的实数集都不是。 所以,需要重新开始这个过程,来构造 S(S{})。 简单起见,就用给出的自然数集合 N 来构造 SNN 上的超结构。 这常常被认为是“一般数学的全集”。 这个想法在于,所有数学一般研究这个全集的元素。 例如:任何通常的实数的构造(用戴德金分割表示)属于 SN。 尽管采用自然数的非标准模型非标准分析能够在超结构中进行。

需要注意的是,这个部分在哲学上有些改变,这里全集是任何被关心的集合 U。 上个部分中,被研究的集合是全集的子集;而现在,它们是全集的元素。 这样尽管 P(SX) 是一个布尔格,而相应的 SX 不是。 因此,几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集;在上个部分中,它们被用来描述幂集式的全集。 作为代替,可以采用独立的布尔格 PA,这里 ASX 中任意相应的集合;则 PASX 的子集(实际上它属于 SX)。

在集合论中[编辑]

在一般数学中,可以精确定义 SN 为全集;这是策梅洛集合论模型。策梅洛集合论是由Ernst Zermelo最初在1908年提出的公理集合论。 策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学,完成了康托尔在三十年之前开始的课题。 但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作,特别是模型论,是不够的。 举一个戏剧性的例子:上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成! 最后一步,构造 S 成为一个无限并集,需要代换公理;这条公理在1922年被加入策梅洛集合论,成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。 所以,尽管一般数学可以在 SN 进行,而 SN 的讨论不再"一般",属于元数学

但是,若在超级的集合论中,可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。 回到 X = {}(空集),并用(标准的)符号 Vi 表示 Si{}。 则有 V0 = {}, V1 = P{},等等,和前面一样。 但是,所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项:Vω,这里 ω 为第一个无穷大序数。 按照序数知识,得到:

 V_{i} := \bigcup_{j<i} \mathbf{P}V_j \!

可以对任意序数 i 定义 Vi。 所有 Vi 的并集为冯·诺伊曼全集 V:

 V := \bigcup_{i} V_{i} \!

注意,每个单独的 Vi 都是集合,但他们的并集 V 是一个纯类。 在差不多时候加入ZF 系统正则公理说,每个集合都属于 V

哥德尔可构造全集 L可构造公理