皮亚诺公理

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皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统。

内容[编辑]

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下:

  1. 1是自然数;
  2. 每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a'a' 也是自然数(一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等);
  3. 如果自然数bc的后继数都是自然数a,那么b = c
  4. 1不是任何自然数的后继数;
  5. 任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n' 也真,那么,命题对所有自然数都真。(这条公理保证了数学归纳法的正确性)

若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0。

更正式的定义如下:

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f):

  • X是一集合,xX中一元素,fX到自身的映射。
  • x不在f的值域内。(對應上面的公理4)
  • f为一单射。(對應上面的公理3)
  • AX的子集并满足:
    • x属于A,且
    • a属于A,则fa) 亦属于A
A = X

正式定义可以用谓词逻辑表示如下:

戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (S, f, e)

  • (e ∈ S)
  • (∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )
  • (∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) = f(c) → b = c)
  • (∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )
  • (∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A = S) )

分歧[编辑]

关于皮亚诺公理的内容有不同版本。其中第一个公理分别被阐述为:

  • 1是一个自然数[1]
  • 0是一个数字[2]
  • 0是一个自然数[3]
  • 存在一个自然数0。和“0是一个自然数”等价。

皮亚诺算术[编辑]

皮亚诺算术(PA)的公理:

  • \forall x(Sx \neq 0)
  • \forall x,y((Sx = Sy) \Rightarrow x=y)
  • (\varphi[0] \wedge \forall x(\varphi[x]\Rightarrow\varphi[Sx])) \Rightarrow \forall x(\varphi[x]),对于在 PA 的语言中的任何公式 \varphi
  • \forall x(x+0=x)
  • \forall x,y(x+Sy = S(x+y))
  • \forall x(x \cdot 0=0)
  • \forall x,y(x \cdot Sy = (x \cdot y) + x)

参考文献[编辑]

  1. ^ http://www.mscf.uky.edu/~lee/ma502/notes2/node7.html声称来自Edmund Landau的著作 Foundations of Analysis,1951年出版。
  2. ^ http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html声称来自Wolfram, S.的著作 A New Kind of Science, 2002年出版
  3. ^ http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html

参见[编辑]