可数选择公理

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可数选择公理,指示为 ACω,是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数保羅·寇恩 证明了ACωZermelo-Fraenkel 集合论(ZF)中是不可证明的。

ZF + ACω 足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的(等价的说:有可数无限的真子集)。ACω 对于开发数学分析特别有用,这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数(考虑为有理数柯西序列的集合)。

ACω 是弱形式的选择公理(AC),它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC 明确的蕴涵了依赖选择公理(DC),而 DC 足够证明 ACω。但是 ACω 要严格弱于 DC (而 DC 严格弱于 AC)。

用法[编辑]

作为应用 ACω 的例子,下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明(在 ZF+ACω 中):

X 是无限的。对于每个自然数 n,设 AnX 的所有 2n-元素子集的集合。因为 X 是无限的,每个 An 是非空的。對序列An应用ACω ,便得到了序列(Bn : n=0,1,2,3,...),这里的每个 Bn 是有 2n 个元素的 X 的子集。
集合 Bn 可能是相交的,但是我们可以定义
C0 = B0
Cn= 是 Bn 与所有 Cj 的并集的差集,j<n
明显的每个集合 Cn 都有至少 1 個 和至多 2n 个元素,而集合 Cn 是兩兩不相交的。再對序列 Cn 應用 ACω ,便得到了序列 (cn: n=0,1,2,...) ,其中 cnCn
所以所有 cn 都是相異的,而 X 包含一个可数集合。定義把每个 cn 映射到 cn+1 的函数 f(并固定所有 X 的其他元素),f 是从 XX 的一一映射,它不是满射,这证明了 X 是戴德金无限的。

参见[编辑]

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