可数选择公理

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可数选择公理,指示为ACω,是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数保羅·寇恩证明了ACωZermelo-Fraenkel集合论(ZF)中是不可证明的。

ZF + ACω 足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的(等价的说:有可数无限的真子集)。ACω对于开发数学分析特别有用,这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数(考虑为有理数柯西序列的集合)。

ACω是弱形式的选择公理(AC),它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理(DC),而DC足够证明ACω。但是ACω要严格弱于DC(而DC严格弱于AC)。

用法[编辑]

作为应用ACω的例子,下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明(在ZF+ACω中):

X是无限的。对于每个自然数n,设AnX的所有2n-元素子集的集合。因为X是无限的,每个An是非空的。對序列An应用ACω,便得到了序列(Bn : n=0,1,2,3,...),这里的每个Bn是有2n个元素的X的子集。
集合Bn可能是相交的,但是我们可以定义
C0 = B0
Cn= 是 Bn与所有Cj的并集的差集,j<n
明显的每个集合Cn都有至少1個和至多2n个元素,而集合Cn是兩兩不相交的。再對序列Cn應用ACω,便得到了序列 (cn: n=0,1,2,...),其中cnCn
所以所有cn都是相異的,而X包含一个可数集合。定義把每个cn映射到cn+1的函数f(并固定所有X的其他元素),f是从XX的一一映射,它不是满射,这证明了X是戴德金无限的。

参见[编辑]

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