類球面

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ProlateSpheroid.png
扁球面 長球面

類球面是一種二次曲面。二維的橢圓有兩個主軸,稱為長軸短軸。在三維空間裏,將一個橢圓繞著其任何一主軸旋轉,則可得到一個類球面。

  • 假若,這旋轉主軸是長軸,則這個類球面為長球面。例如,英式足球裏所用的橄欖球是長球形狀。
  • 假若,這旋轉主軸是短軸,則這個類球面為扁球面。例如,地球在北極與南極稍微有點扁平,在赤道又有點凸漲。所以,地球是扁球形狀。
  • 假若,生成的橢圓是圓圈,則這個類球面為完全對稱的圓球面

用另外一種方法來描述,類球面是一種橢球面。採用直角坐標(x,\ y,\ z)\,\!,橢球面可以表達為

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

其中,a\,\!b\,\!分別是橢球面在x-軸與y-軸的赤道半徑c\,\!是橢球面在z-軸的極半徑.這三個正值實數的半徑決定了橢球面的形狀。

  • 假若,三個半徑都相等,則這橢球面是圓球面
a=b=c\,\!
  • 假若,兩個赤道半徑相等,則這橢球面是類球面:
a=b\,\!
  • 假若,類球面的赤道半徑小於極半徑,則這是類球面是長球面:
a=b<c\,\!
  • 假若,類球面的赤道半徑大於極半徑,則這是類球面是扁球面:
a=b>c\,\!

面積[编辑]

一個長球面的面積是

2\pi\left(a^2+\frac{ac\ o\!\varepsilon}{\sin(o\!\varepsilon)}\right)\,\!

其中,o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{a}{c}\right)\,\!o\!\varepsilon\,\!( 唸為ethyl)是橢圓的角離心率angular eccentricity)。橢圓的離心率e\,\!等於\sin(o\!\varepsilon)\,\!

一個扁球面的面積是

2\pi\left[a^2+\frac{c^2}{\sin(o\!\varepsilon)} \ln\left(\frac{1+ \sin(o\!\varepsilon)}{\cos(o\!\varepsilon)}\right)\right]\,\!

其中,o\!\varepsilon=\arccos\left(\frac{c}{a}\right)\,\!

體積[编辑]

類球的體積是\frac{4}{3}\pi a^2 c\,\!

曲率[编辑]

假若,一個類球面被參數化為

\boldsymbol{\sigma}(\beta,\ \lambda) = (a \cos \beta \cos \lambda,\ a \cos \beta \sin \lambda,\ b \sin \beta)\,\! ;

其中,\beta\,\!參數緯度parametric latitude), - \frac{\pi}{2}<\beta<\frac{\pi}{2}\,\!\lambda\,\!經度 - \pi<\lambda<+\pi\,\!

那麼,類球面的高斯曲率Gaussian curvature)是

 K(\beta,\lambda) = {b^2 \over (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^2}\,\!

類球面的平均曲率mean curvature)是

 H(\beta,\lambda) = {b (2 a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta) \over 2 a (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^{3/2}}\,\!

對於類球面,這兩種曲率永遠是正值的。所以,類球面的每一點都是橢圓的。

參閱[编辑]