離心率

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離心率或稱偏心率,是指圆锥曲线上的一点到平面内一定点的距离与到不过此点的一定直线的距离之比。其中此定点称为焦点,而此定直线称为准线

设一圆锥曲线CC: d(P,M) = e \cdot d(L,M)定义,其中P焦点L准线(详见主条目圆锥曲线),则此时e称为C的离心率。

与焦距和轴长的关系[编辑]

有固定焦点F和准线D的椭圆(e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)

圆锥曲线之离心率与轴长有下述关系:

 e = \dfrac{c}{a}

其中

  • c = 半焦距
  • a = 半长轴(椭圆)或半实轴(双曲线)

或采用较融贯的表法:

 e = \sqrt{1-k \cdot \dfrac{b^2}{a^2}}

其中对椭圆取k=1,对抛物线取k=0,对双曲线取k=-1

圆锥曲线依离心率之分类如下

相关资料[编辑]

  • 标准椭圆方程:
 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

此时半长轴=a,半短轴=b,焦距=2c,而且

 c^2 = a^2 - b^2
  • 标准双曲线方程:
 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

此时半实轴=a,半虚轴=b,焦距=2c,而且

 c^2 = a^2 + b^2