三角多项式

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数学中,三角多项式是一类基于三角函数函数的总称。三角多项式是可以表示成有限个正弦函数sin(nx) 和余弦函数cos(nx) 的和的函数,其中的x 是变量,而n 是一个自然数。三角多项式中每一项的系数可以是实数或者复数。如果系数是复数的话,那么这个三角多项式是一个傅里叶级数

三角多项式在许多数学分支,如数学分析数值分析中都有应用,例如在傅里叶分析中,三角多项式被用于傅里叶级数的表示,在三角插值法中,三角多项式被用于逼近周期性函数

三角多项式一般可以写成

定义[编辑]

一个函数T如果能够写成:

T(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \mathrm{i}\sum_{n=0}^N b_n \sin(nx) \qquad (x \in \mathbf{R})

的形式,其中对于所有的0 \leq n \leq Nanbn都是复数,那么就称其为N阶复三角多项式[1][2]。运用欧拉公式,这个函数可以写为:

T(x) = \sum_{n=-N}^N c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}nx} \qquad (x \in \mathbf{R}).

同样地,如果对于所有的0 \leq n \leq Nanbn都是实数的话,那么函数t

t(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \qquad (x \in \mathbf{R})

就被称N阶实三角多项式[2]

性质[编辑]

\scriptstyle \cos n\theta \,是关于\scriptstyle\cos\theta \,n 次多项式。

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,

实际上,这种多项式称为第一类切比雪夫多项式。同样地,\scriptstyle \sin n\theta \,也是关于\scriptstyle \cos\theta \,\scriptstyle \sin \theta \,n 次多项式,称为第二类切比雪夫多项式。

\sin (\theta ) U_n(\cos(\theta))=\sin((n+1) \theta) \,

因此,一个三角多项式实际上也可以认为是关于三角函数\scriptstyle \cos\theta \,\scriptstyle \sin \theta \,的多项式。

三角多项式都是周期为\scriptstyle 2\pi \,的周期函数。同时,任何连续的周期函数都可以借助于三角多项逼近到任意接近的程度。

参考来源[编辑]

  1. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR924157 
  2. ^ 2.0 2.1 Powell, Michael J. D., Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 1981, ISBN 978-0-521-29514-7