切比雪夫多项式

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常,第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示, 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 TnUn 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为切比雪夫节点)可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

微分方程的研究中,切比雪夫提出切比雪夫微分方程

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0

相应地,第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.

定义[编辑]

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

T_0(x) = 1 \,
T_1(x) = x \,
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,

也可以用母函数表示

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

U_0(x) = 1 \,
U_1(x) = 2x \,
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,

此时母函数

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.

从三角函数定义[编辑]

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \,

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . \cos n\theta \, 是关于 \cos\theta \,n次多项式,这个事实可以这么看: \cos n\theta \,是:(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin n\theta \,的实部(参见棣莫弗公式),而从左边二项展开式可以看出实部中出现含\sin\theta \,的项中,\sin\theta \,都是偶数次的,从而可以表示成 1-\cos^2\theta \,的幂 。

用显式来表示

T_n(x) = 
\begin{cases} 
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arcosh}(x)), & \ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arcosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases}

尽管能经常碰到上面的表达式,但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数,则有


\begin{matrix}
T_n(x) & = & \cos (n \arccos (x)) \\
& = & \mathrm{cosh} (n \, \mathrm{arccosh} (x))
\end{matrix}
\ , \quad \forall x \in \mathbb{R}.

类似,第二类切比雪夫多项式满足

 U_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}.

以佩尔方程定义[编辑]

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!

递归公式[编辑]

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

T_0(x) = 1
U_{-1}(x) = 1
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)
U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)

证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替\cos\vartheta

T_{n+1}(x) = T_{n+1}(\cos\vartheta) = {} \cos((n + 1)\vartheta) = {} \cos(n\vartheta)\cos\vartheta - \sin(n\vartheta)\sin\vartheta = {} T_n(\cos\vartheta)\cos\vartheta - U_{n-1}(\cos\vartheta)\sin^2\vartheta = {} xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)

正交性[编辑]

TnUn 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},

即:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{
\begin{matrix}
0 &: n\ne m~~~~~\\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{matrix}
\right.

可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地,第二类切比雪夫多项式带权

\sqrt{1-x^2}

即:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx = 
\begin{cases}
0     &: n\ne m\\
\pi/2 &: n=m
\end{cases}

正交化后形成的随机变量Wigner 半圆分布英语Wigner semicircle distribution).

基本性质[编辑]

对每个非负整数nT_n(x)U_n(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶(奇)数时,它们是关于x 的偶(奇)函数, 在写成关于x的多项式时只有偶(奇)次项。

n \ge 1时,T_n 的最高次项系数为 2^{n-1}n = 0时系数为1

最小零偏差[编辑]

n \ge 1,在所有最高次项系数为1的n次多项式中 , f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x) 对零的偏差最小,即它是使得f(x)[-1, 1] 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为\frac1{2^{n-1}} , 分别在-11f 的其他 n - 1 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系[编辑]

两类切比雪夫多项式间还有如下关系:

\frac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots
T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.


切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出:

2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,2,\ldots

例子[编辑]

前六个第一类切比雪夫多项式的图像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.

前几个第一类切比雪夫多项式是

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,
前六个第二类切比雪夫多项式的图像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.

前几个第二类切比雪夫多项式是

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1. \,

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

 T_n'(1) = n^2 \,
 T_n'(-1) = - (-1)^n * n^2 \,
 T_n''(1) = (n^4 - n^2)/3 \,
 T_n''(-1) = (-1)^n * (n^4 - n^2)/3 \,

按切比雪夫多项式的展开式[编辑]

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下:

p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根[编辑]

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点英语Chebyshev nodes ,因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tnn个根分别是:

 x_i = \cos\left(\frac{2i-1}{2n}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.

类似地, Unn个根分别是:


 x_i = \cos\left(\frac{i}{n+1}\pi\right) \mbox{ , } i=1,\ldots,n.

参看[编辑]

参考[编辑]