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正交多項式

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函數W(x)若在區間(a,b)可積,且W(x) \ge 0,則可作為權函數。

對於一個多項式的序列{f_i}和權函數W(x),定義內積 : \langle f_m, f_n \rangle=\int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x)\,W(x)\,dx

n \ne m\langle f_m, f_n \rangle = 0,這些多項式則稱為正交多項式

{f_i}除了正交之外,更有\langle f_n, f_n \rangle=1的話,則稱為規範正交多項式

例子[编辑]

若權函數為1,區間為(-1,1),f_0(x) = 1,對應的正交多項式有:

f_1(x) = x\,
f_2(x) = \frac{3x^2-1}{2}\,
f_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2}\,
f_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8}\,
\vdots

它們稱為勒讓德多項式

對於任意向量空間的基,Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基,正交化的結果便是勒讓德多項式。

其他常見的正交多項式有:

性質[编辑]

  • 遞歸方程

f_{n+1} = (a_n + x b_n)f_n - c_n f_{n-1}

其中 b_n = \frac{k_{n+1}}{k_n} ,\qquad a_n = b_n ( \frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} -  \frac{k_{n}'}{k_{n}}), \qquad c_n = b_n ( \frac{k_{n-1} h_n}{k_{n} h_{n-1}} ), \qquad h_n = \langle f_n,f_n \rangle

  • 實根:所有正交多項式系中的正交多項式都有n個實,這些根是相異且在正交區間之內。
  • 奇偶性:若W(x)為偶函數,且正交區間為(-a,a),則有f_n(-x) = (-1)^n f_n(x)

外部連結[编辑]