正交多項式

函數$W(x)$若在區間(a,b)可積，且$W(x) \ge 0$，則可作為權函數。

對於一個多項式的序列${f_i}$和權函數$W(x)$，定義內積 $: \langle f_m, f_n \rangle=\int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x)\,W(x)\,dx$

若$n \ne m$，$\langle f_m, f_n \rangle = 0$，這些多項式則稱為正交多項式。

若${f_i}$除了正交之外，更有$\langle f_n, f_n \rangle=1$的話，則稱為規範正交多項式。

例子

若權函數為1，區間為(-1,1)，$f_0(x) = 1$，對應的正交多項式有：

$f_1(x) = x\,$

$f_2(x) = \frac{3x^2-1}{2}\,$

$f_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2}\,$

$f_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8}\,$

$\vdots$

它們稱為勒讓德多項式。

對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。

其他常見的正交多項式有：

• 切比雪夫多項式
• 雅可比多項式
• 埃尔米特多项式
• 拉盖尔多项式
• 蓋根鮑爾多項式

性質

• 遞歸方程

$f_{n+1} = (a_n + x b_n)f_n - c_n f_{n-1}$

其中 $b_n = \frac{k_{n+1}}{k_n} ,\qquad a_n = b_n ( \frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} - \frac{k_{n}'}{k_{n}}), \qquad c_n = b_n ( \frac{k_{n-1} h_n}{k_{n} h_{n-1}} ), \qquad h_n = \langle f_n,f_n \rangle$

• 實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有$n$個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
• 奇偶性：若$W(x)$為偶函數，且正交區間為$(-a,a)$，則有$f_n(-x) = (-1)^n f_n(x)$。

外部連結

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. (1965). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. chapter 22
• Vilmos Totik (2005). "Orthogonal Polynomials". Surveys in Approximation Theory 1: 70-125.
• Ioana Dumitriu, Alan. Edelman, Gene ShumanMultivariate Orthogonal Polynomials
• Orthogonal polynomials (Springer Online Reference Works)