拉盖尔多项式

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数学中,以法国数学家埃德蒙·拉盖尔英语Edmond Laguerre命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。


x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

这是一个二阶线性微分方程

这个方程只有当n非负时,才有非奇异解。拉盖尔多项式可用在高斯积分法中,计算形如\int_0^\infty f(x) dx的积分。

这些多项式(通常用L0L1等表示)构成一个多项式序列英语polynomial sequence。这个多项式序列可以用罗德里格公式递推得到。


L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).

在按照下式定义的内积构成的内积空间中,拉盖尔多项式是正交多项式

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.

拉盖尔多项式构成一个Sheffer序列英语Sheffer sequence

拉盖尔多项式在量子力学中有重要应用。氢原子薛定谔方程的解的径向部分,就是拉盖尔多项式。

物理学家通常采用另外一种拉盖尔多项式的定义形式,即在上面的形式的基础上乘上一个n!。

前几个拉盖尔多项式[编辑]

前几个拉盖尔多项式的表达式与函数图像如下:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
前六个拉盖尔多项式

递归定义[编辑]

拉盖尔多项式也可以通过递归的方式进行定义。首先,规定前两个拉盖尔多项式为:

L_0(x) = 1\,
L_1(x) = 1 - x\,

然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).

广义拉盖尔多项式[编辑]

上面提到的拉盖尔多项式的正交性,也可以用另外一种方式表达。即:如果X是一个服从指数分布随机变量(即,概率密度函数如下式):

f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

那么:

E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.

指数分布不是唯一的伽玛分布,对于任意的伽玛分布(概率密度函数如下,α > −1,参见Γ函数

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

相应的正交多项式为形如下式的广义拉盖尔多项式(可以通过罗德里格公式得到):

L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).

有时也将上面的多项式称为连带(联属,伴随)拉盖尔多项式。当取α = 0时,就回到拉盖尔多项式:

L^{(0)}_n(x)=L_n(x).

广义拉盖尔多项式的性质与应用[编辑]

L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right),以及
L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right)[1]
  • 前几个广义拉盖尔多项式为:
 L_0^{(\alpha)} (x) = 1
 L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1
 L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}
 L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}
  • 根据拉盖尔多项式的定义,可以使用秦九韶算法计算拉盖尔多项式,程序代码如下:
 function LaguerreL(n, alpha, x) {
    LaguerreL:= 1; bin:= 1 
    for i:= n to 1 step -1 {
        bin:= bin* (alpha+ i)/ (n+ 1- i)
        LaguerreL:= bin- x* LaguerreL/ i
    }
    return LaguerreL;
 }

递推关系[编辑]

拉盖尔多项式满足以下的递推关系:

L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y),

特别地,有

L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)以及L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n{\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x),或L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);

还有

\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)- \sum_{j=0}^{\Delta-1} {n+\alpha \choose n-j} (-1)^j \frac{x^j}{j!}&= (-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(\alpha+\Delta)}(x)\\
&=(-1)^\Delta\frac{x^\Delta}{(\Delta-1)!} \sum_{i=0}^{n-\Delta} \frac{{n+\alpha-i-1 \choose n-\Delta-i}}{(n-i){n \choose i}}L_i^{(n+\alpha+\Delta-i)}(x).\end{align}

运用以上式子可以得到以下四条关系式:

  • L_n^{(\alpha)}(x) = L_n^{(\alpha+1)}(x) - L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x) =\sum_{j=0}^k {k \choose j} L_{n-j}^{(\alpha-k+j)}(x),
  • n L_n^{(\alpha)}(x) = (n + \alpha )L_{n-1}^{(\alpha)}(x) - x L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x), or \frac{x^k}{k!}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^k (-1)^i {n+i \choose i} {n+\alpha \choose k-i} L_{n+i}^{(\alpha-k)}(x),
  • n L_n^{(\alpha+1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha+1)}(x)+(n+\alpha)L_{n-1}^{(\alpha)}(x)
  • x L_n^{(\alpha+1)}=(n+\alpha)L_{n-1}^{\alpha}(x)-(n-x)L_n^{(\alpha)}(x);

将它们组合在一起,就得到了最常用的递推关系式:

L_{n + 1}^{(\alpha)}(x) = \frac{1}{n + 1} \left( (2n + 1 + \alpha - x)L_n^{(\alpha)}(x) - (n + \alpha) L_{n - 1}^{(\alpha)}(x)\right).

in均为整数时,拉盖尔多项式有以下的有趣性质:

 \frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x);

进一步可以得到部分分式分解

\frac{L_n^{(\alpha)}(x)}{{n+ \alpha \choose n}}= 1- \sum_{j=1}^n \frac{x^j}{\alpha + j} \frac{L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!} = 1-x \sum_{i=1}^n \frac{L_{n-i}^{(-\alpha)}(x)  L_{i-1}^{(\alpha+1)}(-x)}{\alpha +i}.

拉盖尔多项式的导函数[编辑]

将拉盖尔多项式对自变量x求导k次,得到:


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} L_n^{(\alpha)} (x)
= (-1)^k L_{n-k}^{(\alpha+k)} (x)\,;

进一步有:

\frac{1}{k!} \frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k} x^\alpha L_n^{(\alpha)} (x) 
= {n+\alpha \choose k} x^{\alpha-k} L_n^{(\alpha-k)}(x),

运用柯西多重积分公式英语Cauchy formula for repeated integration可以得到:

L_n^{(\alpha')}(x) = (\alpha'-\alpha) {\alpha'+ n \choose \alpha'-\alpha} \int_0^x \frac{t^\alpha (x-t)^{\alpha'-\alpha-1}}{x^{\alpha'}} L_n^{(\alpha)}(t)\,dt.

将拉盖尔多项式对参变量\alpha求导,得到下面的有意思的结果:

\frac{\mathrm d}{\mathrm d \alpha}L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{n-i}.

广义拉盖尔多项式满足下面的微分方程:


x L_n^{(\alpha) \prime\prime}(x) + (\alpha+1-x)L_n^{(\alpha)\prime}(x) + n L_n^{(\alpha)}(x)=0,\,

可以与拉盖尔多项式的k阶导数所满足的微分方程作一比较。


x L_n^{(k) \prime\prime}(x) + (k+1-x)L_n^{(k)\prime}(x) + (n-k) L_n^{(k)}(x)=0,\,

仅在此式中,L_n^{(k)}(x)\equiv\frac{dL_n(x)}{dx^k}(后面这个符号又有了新的含义)。

于是,当\alpha=0时,广义拉盖尔多项式可以用拉盖尔多项式的导数表示: L_n^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{dL_{n+k}(x)}{dx^k} 式中的上标(k)容易与求导k次混淆。

正交性[编辑]

伴随拉盖尔多项式在区间[0, ∞)上以权函数xα e −x正交:

\int_0^{\infty}x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{n,m},

这可由下式得到:

\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').

伴随对称核多项式可以用拉盖尔多项式表示为:

\begin{align}
K_n^{(\alpha)}(x,y)&{:=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0}^n \frac{L_i^{(\alpha)}(x) L_i^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+i \choose i}}\\
&{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(y) - L_{n+1}^{(\alpha)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{\frac{x-y}{n+1} {n+\alpha \choose n}} \\
&{=}\frac{1}{\Gamma(\alpha+1)}\sum_{i=0}^n \frac{x^i}{i!} \frac{L_{n-i}^{(\alpha+i)}(x) L_{n-i}^{(\alpha+i+1)}(y)}{{\alpha+n \choose n}{n \choose i}};\end{align}

也有下面的递推关系:

K_n^{(\alpha)}(x,y)=\frac{y}{\alpha+1} K_{n-1}^{(\alpha+1)}(x,y)+ \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha+1)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+n \choose n}}.

进一步地,在伴L2[0, ∞)空间上,有:

y^\alpha e^{-y} K_n^{(\alpha)}(\cdot, y) \rightarrow \delta(y- \, \cdot),

在氢原子的量子力学处理中用到了下面的公式:

\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)}\right]^2 dx=
\frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).

级数展开[编辑]

设一个函数具有以下的级数展开形式:

f(x)= \sum_{i=0} f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).

则展开式的系数由下式给出

f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .

这个级数在Lp空间L^2[0,\infty)上收敛,当且仅当

\| f \|_{L^2}^2 := \int_0^\infty \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} | f(x)|^2 dx = \sum_{i=0} {i+\alpha \choose i} |f_i^{(\alpha)}|^2 < \infty.

一个相关的展开式为:

 f(x)= e^{\frac{\gamma}{1+\gamma} x} \cdot \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}}  \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} {i \choose n} f_n^{(\alpha)};

特别地

e^{-\gamma x} \cdot L_n^{(\alpha)}(x(1+\gamma))= \sum_{i=n} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} \gamma^{i-n} {i \choose n},

这可由下式得到:

L_n^{(\alpha)}\left(\frac{x}{1+\gamma} \right)= \frac{1}{(1+\gamma)^n} \sum_{i=0}^n \gamma^{n-i} {n+\alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x).

还有,当\operatorname{Re}{(2\alpha- \beta)}>-1时,

\frac{x^{\alpha-\beta} f(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)}= {\alpha \choose \beta} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}} \sum_{n=0}^i (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} {\alpha+n \choose n} f_n^{(\alpha)},

这个结果可以由下式导出,

\frac{x^{\alpha-\beta} L_n^{(\alpha)}(x)}{\Gamma(\alpha-\beta+1)} = {\alpha \choose \beta} {\alpha+ n\choose n} \sum_{i=n} (-1)^{i-n} {\alpha-\beta \choose i-n} \frac{L_i^{(\beta)}(x)}{{\beta+i \choose i}}

更多的例子[编辑]

幂函数可以展开为:

\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x)= (-1)^n \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha-i)}(x) {-\alpha \choose n-i},

二项式可以展开为:

{n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha).

进一步可以得到:

e^{-\gamma x}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x)(当且仅当 \operatorname{Re}{(\gamma)} > -\frac{1}{2}时收敛)

更一般地

 \frac{x^\beta e^{-\gamma x}}{\Gamma(\beta+1)}= {\alpha+\beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{ {\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+\gamma)^{\alpha+ \beta+ j+ 1}} {\alpha+\beta+j \choose j} {\alpha+i \choose i-j}.

对于非负的整数\beta,可以化简为:

\frac{x^n e^{-\gamma x}}{n!}= \sum_{i=0} \frac{\gamma^i L_i^{(\alpha)}(x)}{(1+\gamma)^{i+n+\alpha+1}} \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \gamma^j {n+\alpha \choose j} {i \choose n-j},

\gamma=0时,可以化简为:

\frac{x^\beta}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} (-1)^i {\beta \choose i} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}},
\frac{x^\beta L_n^{(\gamma)}(x)}{\Gamma(\beta+1)} = {\alpha+ \beta \choose \alpha} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{\alpha+i \choose i}}\sum_{j=0}^n (-1)^{i-j} {n+ \gamma \choose n-j} {\beta+j \choose i} {\alpha+ \beta+ j \choose j}.

雅可比Theta 函数有下面的表示:

\sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-k^2 \pi x}= \sum_{i=0} L_i^{(\alpha)}\left(\frac{x}{t}\right) \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{(k^2 \pi t)^i}{(1+ k^2 \pi t)^{i+\alpha+1}};

随意选定参量t,贝塞尔函数可以表示为: \frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{i+ \alpha \choose i}} \frac{t^i}{i!}; Γ函数可以展开为:

\Gamma(\alpha)=x^\alpha \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{\alpha+i} \qquad \left(\Re(\alpha)<\frac 1 2\right);

低阶不完全伽玛函数可展开为:

\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= \frac{\left(\frac{z}{t}\right)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{i=0} \frac{L_i^{(\alpha)}\left(\frac{z}{t}\right)}{{\alpha+i \choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{s+j}}{s-1+j \choose j}{\alpha-1+i \choose i-j},
\frac{\gamma(s;z)}{t^s \Gamma(s)}= {\alpha+s \choose \alpha+1} \sum_{i=0} \frac{{\alpha+ i+1\choose i+1}- L_{i+1}^{(\alpha)}\left( \frac{z}{t}\right)}{{\alpha+ i+1\choose i}} \sum_{j=0}^i \frac{(-1)^j}{(1+t)^{\alpha+1+s+j} } {\alpha+s+j \choose j}{\alpha+i+1 \choose i-j}.

还有:

\gamma(s,z)=\frac{\gamma^s}{\Gamma(1-s)} \sum_{i=0} \frac{L_{i+1}^{(-s)}(0)-L_{i+1}^{(-s)}\left(\frac{z}{\gamma}\right)}{(1+\gamma)^{i+1}} \sum_{n=0}^i \gamma^{i-n} \frac{{i \choose n}}{n+1-s};

于是,高阶不完全伽玛函数就是:

\begin{align}\frac{\Gamma(s,z)}{z^s e^{- z}}&= \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}(z)}{(k+1) {k+1+\alpha-s \choose k+1}} \qquad \left(\Re\left(s-\frac \alpha 2 \right)< \frac 1 4 \right)\\
&= \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+k; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{t^k(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}} \\
&= t^s \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z\, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1-s, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; \frac{t-1}{t}\right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}}\\
&= t^{1+\alpha} \sum_{k=0} L_k^{(\alpha)}(z \, t) \cdot \frac{_2F_1\left(1+\alpha+k, 1+\alpha-s; 2+\alpha+k-s; 1-t \right)}{(k+1){1+\alpha+k-s \choose 1+k}},\end{align}

_2F_1表示超几何函数

围道积分表示[编辑]

拉盖尔多项式可以用围道积分表示,如下式所示:

L_n^{(\alpha)}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-\frac{x t}{1-t}}}{(1-t)^{\alpha+1}\,t^{n+1}} \; dt

积分方向逆时针绕原点一周。

与埃爾米特多項式的关系[编辑]

广义拉盖尔多项式与埃爾米特多項式有下列关系:

H_{2n}(x) = (-1)^n\ 2^{2n}\ n!\ L_n^{(-1/2)} (x^2)

以及

H_{2n+1}(x) = (-1)^n\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_n^{(1/2)} (x^2)

这里的Hn表示乘上了exp(−x2)的埃爾米特多項式(所谓的“物理学家形式”)。 正因为这样,广义拉盖尔多项式也在量子谐振子的量子力学处理中出现。

与超几何函数的关系[编辑]

拉盖尔多项式可以用超几何函数来定义,具体地说,是用合流超几何函数定义:

L^{(\alpha)}_n(x) = {n+\alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x) =\frac{(\alpha+1)_n} {n!}  \,_1F_1(-n,\alpha+1,x)

(a)_n阶乘幂,这里表示升阶乘

与贝塞尔函数的关系[编辑]

拉盖尔多项式与变形贝塞尔函数之间有以下关系:

\begin{align}L_n^{(\alpha)}(x)
=& e^\frac x 2 \left(\frac x 4\right)^{n+\frac 12}\frac{2 }{\sqrt \pi (n+1)! {-\frac 1 2 \choose n+1}}  \cdot \\ 
&\cdot\sum_{k=0}^n (-1)^{k+1}{2n+1 \choose n-k} \frac{{n+\alpha \choose n}{\alpha+2n+1 \choose n-k}}{{n-k+\alpha \choose n-k}} \left(k+\frac 1 2 \right) K_{k+\frac 1 2}\left(\frac x 2 \right)\\
= &e^\frac{x}{2} \left(\frac{4}{x}  \right)^{n+\alpha+\frac{1}{2}} \Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) {-\alpha-1 \choose n}{-\alpha-\frac 1 2 \choose n}  \cdot \\
& \cdot n! \sum_{k=n} \frac{{-2n-1-2\alpha \choose k-n} {-2n-1-\alpha \choose k-n}}{{-\alpha-1 \choose k-n}} \left(\alpha+\frac{1}{2}+k \right) I_{\alpha+\frac 1 2+k} \left(\frac x 2 \right) \end{align},

进一步有:

L_n^{(\alpha)}(x)= \frac 2 {4^n (2n+1) {-\frac 1 2 \choose n}} \sum_{k=0}^n \left(k+\frac 1 2 \right) \frac{{2n+1 \choose n-k}}{{n \choose k}^2} {n+\alpha \choose k}{2n+\alpha+1 \choose n-k} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!}L_k^{-2k-1}(x).

外部链接[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8

参考文献[编辑]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. 2000. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.