施图姆定理

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施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的,但实际上是约瑟夫·傅里叶发现的。

施图姆定理与代数基本定理的一个区别是,代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数,把重根也计算在内,而施图姆定理则只涉及实根,且不把重根计算在内。

施图姆序列[编辑]

我们首先从以下不含平方因式的多项式构造一个施图姆序列:

X=a_n x^n+\ldots +a_1 x+a_0.

施图姆序列是把辗转相除法应用于X和它的导数X1 = X′时,所得到的中间结果的序列。

施图姆序列由以下公式计算:

\begin{matrix}
X_2&=&-{\rm rem}(X,X_1)\\
X_3&=&-{\rm rem}(X_1,X_2)\\
&\vdots&\\
0&=&-{\rm rem}(X_{r-1},X_r),
\end{matrix}

也就是说,序列中每一项都是前两项相除所得的余数,并将其变号。由于当1 \le i < r时,\operatorname{deg} X_{i + 1} \le \operatorname{deg} X_i - 1,因此这个序列最终要停止。最后一个多项式,Xr,就是X和它的导数的最大公因式。由于X没有重根,因此Xr是一个常数。于是,施图姆序列为:

X,X_1,X_2,\ldots,X_r . \,

表述[编辑]

设σ(ξ)为以下序列中符号变化的次数(零不计算在内):

X(\xi), X_1(\xi), X_2(\xi),\ldots, X_r(\xi), \,\!

其中X是不含平方因式的多项式。于是,施图姆定理说明,对于两个实数a < b,半开区间(a,b]中的不同根的个数为σ(a)−σ(b)。

应用[编辑]

通过恰当选择ab,这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如,柯西发现的一个定理说明,系数为ai的多项式的所有实根都在区间[−M,M]内,其中:

M = 1 + \frac{\max_{i=0}^{n-1} |a_i|}{|a_n|} . \,\!

除此以外,我们还可以利用下列事实:对于很大的x,以下多项式的符号

P(x)=a_n x^n+\cdots \,\!

是sgn(an),而sgn(P(−x))则是sgn((−1)nan)。

用这种方法,仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化,就可以得出多项式的不同实根的个数。

通过施图姆定理的帮助,我们还可以决定某个给定根(例如ξ)是几重根。确实,假设我们知道ξab之间,且σ(a)−σ(b) = 1。那么,ξ是m重根正好当ξ是Xrm−1重根时(这是因为它是X和它的导数的最大公因式)。

广义施图姆序列[编辑]

设ξ位于紧区间[a,b]内。[a,b]上的广义施图姆序列,是实系数多项式(X0X1,……,Xr)的一个有限序列,使得:

  1. X(a)X(b) ≠ 0
  2. sgn(Xr)在[a,b]内是常数
  3. 如果当1 ≤ ir−1时,Xi(ξ) = 0,那么Xi−1(ξ)Xi+1(ξ) < 0。

我们可以验证每一个施图姆序列确实是广义施图姆序列。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  • D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.

外部链接[编辑]