龙格现象

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红色曲线是龙格函数,蓝色曲线是 5 阶多项式,绿色曲线是 9 阶多项式。随着阶次的增加,误差逐渐变大

数值分析领域中, 龙格现象是用高阶多项式进行多项式插值时所出现的问题。它是 Carle David Tolmé Runge 在研究使用多项式插值逼近特定函数的误差过程中发现的。

问题[编辑]

考虑以下函数

f(x) = \frac{1}{1+25x^2}.\,

龙格发现如果使用 \leq n 阶多项式 P_n(x) 在 −1 与 1 之间按照

x_i = -1 + (i-1)\frac{2}{n},\qquad i \in \left\{ 1, 2, \dots, n+1 \right\}

这样的等距点xi 进行插值,那么在接近端点 −1 与 1 的地方插值结果就会出现震荡。

可以证明,在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大:

\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \max_{-1 \leq x \leq 1} | f(x) -P_n(x)| \right) = \infty.

解决龙格现象的办法[编辑]

使用切比雪夫节点代替等距点可以减小震荡,在这种情况下,随着多项式阶次的增加最大误差逐渐减小。这个现象表明高阶多项式通常不适合用于插值。使用分段多项式样条可以避免这个问题。如果要减小插值误差,那么可以增加构成样条的多项式的数目,而不必是增加多项式的阶次。

参见[编辑]