样条函数

维基百科，自由的百科全书

(重定向自样条)

在数学学科数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。样条的英语单词spline来源于可变形的样条工具，那是一种在造船和工程制图时用来画出光滑形状的工具。在中国大陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工程学术语中“放样”一词而得名。

在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中，样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样条构造简单，使用方便，拟合准确，并能近似曲线拟合和交互式曲线设计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的常用表示方法。

[编辑] 定义

给定k个点t_i，称为节点(knot)，分布在一个区间[a,b]满足

$a=t_0 < t_1 < \ldots < t_{k-2} < t_{k-1} = b$

一个参数曲线

$S:[a,b] \to \mathbb{R}$

称为n次样条，如果

$S \in \mathrm{C}^{n-1}(a,b)$

并且在限制到每个子区间时，

$S_{[t_i,t_{i+1})} \in \Pi_n \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2$

换句话说，在每个子区间或者说节点长度(knot span)

$[t_i,t_{i+1}) \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2$

S和一个n次多项式相同。

S(t_i) 称为节点值 而（t_i, S(t_i)）称为内部控制点（internal control point）. (t₀,...,t_k-1) 称为节点向量(knot vector). 如果节点等距分布在区间[a,b]上，我们称样条均匀(uniform)，否则为非均匀(non-uniform).

[编辑] 例子

最简单的样条是一次的，它也叫做线性样条，或者多边形。

一般的样条是自然的三次样条。自然定义为样条多项式的二阶导数在插值区域的两端相等。

$S''(a) = S''(b) = 0$ 在区间 $[a, b]$

这使得样条在插值区间外为直线而不影响光滑程度。

[编辑] 注解

对于一个给定的节点向量，所有n次样条构成一个向量空间。这个空间的一个基是n次B样条基。

[编辑] 历史

在计算机被使用之前，数字演算用手工完成。虽然分段定义的象signum函数或阶梯函数这样的函数也被用到，一般人更喜欢多项式因为它们比较容易算。随着计算机的发展，样条变得越来越重要。它们一开始是作为多项式在插值中的替代品，后来又作为在计算机图形学中构造光滑和可变形状的工具。

[编辑] 参看

样条插值
厄尔密样条Hermite spline
三次厄尔密样条Cubic Hermite spline
- 基数样条Cardinal spline
- Catmull-Rom样条
- Kochanek-Bartels样条
B样条
非均匀有理B样条Nonuniform rational B-spline (NURBS)
de Boor算法是计算B样条的一个有效方法
贝塞尔样条

[编辑] 外部链接

An Interactive Introduction to Splines
Learning by Simulations Interactive simulation of various cubic splines