B样条

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学的子学科数值分析裡,B-样条样条曲线一种特殊的表示形式。它是B-样条基曲线的线性组合。B-样条是貝茲曲線的一种一般化,可以进一步推广为非均匀有理B样条(NURBS),使得我们能给更多一般的几何体建造精确的模型。

De Boor算法是一个数值上稳定的计算B样条的方法。

术语 B样条Isaac Jacob Schoenberg创造的,是基(basis)样条的缩略。

定义[编辑]

给定m+1 个节点ti ,分布在[0,1]区间,满足

 t_0 < t_1 < \ldots < t_m

一个nB样条是一个参数曲线

\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{R}^2

它由nB样条基(basis B-spline)组成

\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1].

Pi称为控制点de Boor点. 多边形可以通过把de Boor点用线连起来构造出来,从P0开始,到Pn结束。这样的多边形称为de Boor多边形.

m+1个n次B样条基可以用Cox-de Boor递归公式 定义

b_{j,0}(t) := \left\{\begin{matrix} 
1 & \mathrm{} \quad t_j < t < t_{j+1} \\
0 & \mathrm{...} 
\end{matrix}
\right.
b_{j,n}(t) := \frac{t - t_{j}}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).

当节点等距,称B样条为均匀(uniform)否则为非均匀(non-uniform)。

均匀B样条曲线[编辑]

当B样条是均匀的时候,对于给定的n,每个B样条基是其他基的平移拷贝而已。一个可以作为替代的非递归定义是

b_{j,n}(t) := b_n(t + n - j) \qquad \mbox{ , } j = -1, \ldots m+1

满足

b_n(t) := (m+1) \sum_{i=0}^{m+1} \omega_i(t_i - t)_+^{m} \qquad \mbox{ , } t \in [0,1]

满足

\omega_i := \prod_{j=0, i \neq j}^{m+1} \frac{1}{t_i - t_k}

其中

(t_i - t)_+

截断幂函数(truncated power function)

注解[编辑]

当节点数和多项式次数相等时,B样条退化为Bezier曲线。即函数的形状由节点的位置决定。缩放或者平移节点向量不会改变基函数。

样条包含在它的控制点的凸包

n次B样条的一个基

b_{i,n}(t)

仅当在区间[ti, ti+n+1]上非0。就是

b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \mathrm{} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\
0 & \mathrm{...}
\end{matrix}
\right.

换句话说,如果我们操作一个控制点,我们只改变曲线在局部的行为,而不像Bezier曲线那样是全局行为。

例子[编辑]

常数B样条[编辑]

常数B样条是最简单的样条。只定义在一个节点距离上,而且不是节点的函数。它只是不同节点段(knot span)的标志函数(indicator function)。

b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} =
\left\{\begin{matrix} 
1 & \mathrm{} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
0 & \mathrm{...} 
\end{matrix}
\right.

线性B样条[编辑]

线性B样条定义在两个相邻的节点段上,在节点连续但不可微。

b_{j,1}(t) = 
\left\{\begin{matrix} 
\frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \mathrm{if} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
\frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \mathrm{ } \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\
0 & \mathrm{... } 
\end{matrix}
\right.

三次B样条[编辑]

一个片断上的B样条的表达式可以写作:

S_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \qquad \mbox{ , } t \in [0,1]

其中Si是第i个B样条片断而P是一个控制点集,ik是局部控制点索引。控制点的集合会是P_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i)的集合,其中w_i是比重,当它增加时曲线会被拉向控制点P_i,在减小时则把曲线远离该点。


片段的整个集合m-2条曲线(S_3,S_4,...,S_m)由m+1个控制点(P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3)定义,作为t上的一个B样条可以定义为

S(t) = \sum_{i=0}^m \mathbf{P}_{i} b_{i,} (t)

其中i是控制点数,t是取节点值的全局参数。这个表达式把B样条表示为B样条基函数的线性组合,这也是这个名称的原因。

有两类B样条-均匀和非均匀。非均匀B样条相邻控制点间的距离不一定要相等。一个一般的形式是区间随着插入控制点逐步变小到0。

B样条曲面[编辑]

B样条曲线及曲面相关算法[编辑]

关于此处涉及的算法,在著作[1]中有针对Bézier、B样条(B-spline)以及非均匀有理B样条(Nurbs)的相关算法的详细数学表达和程序实现方法。

求导[编辑]

在几何处理中,对参数曲线及曲面的求导是最基本的运算之一,由于参数表达的特性,在给定点的切线及法线可通过求导直接得到。 先来考察曲线的情形:采用本页定义中的B样条曲线表达式 \mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1] 对参数t进行求导: \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \sum_{i=0}^{m} b'_{i,n}(t) \mathbf{P}_{i}

节点插入与删除[编辑]

曲线及曲面拟合[编辑]

应用[编辑]

参看[编辑]

参考[编辑]

本條目部分或全部内容出自以GFDL授權發佈的《自由線上電腦詞典》(FOLDOC)。

  1. ^ Les Piegl and Wayne Tiller: The NURBS Book, Springer-Verlag 1995-1997 (2nd ed).

外部链接[编辑]