Clenshaw递推公式

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数值分析中,Clenshaw递推公式 (由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。

切比雪夫多项式[编辑]

N次切比雪夫多项式,是下面形式的多项式p(x)

p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

其中Tnn阶切比雪夫多项式.

Clenshaw递推公式[编辑]

Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定

p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

我们定义

b_{N} \,\! := a_{N} \,
b_{N-1} \,\! := 2 x b_{N} + a_{N-1} \,
b_{N-n} \,\! := 2 x b_{N-n+1} + a_{N-n} - b_{N-n+2} \,,\; n=2,\ldots,N-1 \,
b_{0} \,\! := x b_{1} + a_{0} - b_{2} \,

于是

p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x) = b_{0}.

(注)上面的公式在  N = 0, 1 的情况下无意义。 此时我们可以用下面的公式:

b_{N+2} :=0\,
b_{N+1} :=0\,
b_{j} := 2 x b_{j+1} - b_{j+2} + a_{j} \,,\; j=N,\ldots,1 (downward, omit if N=0)
p(x) := x b_{1} - b_{2} + a_{0} \,
q(x) := 2 x b_{1} - b_{2} + a_{0} \,

这里

 p(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n T_n(x)

或者

 q(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n U_n(x)

其中U_n(x)是第二类切比雪夫多项式。