瑕积分

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分
第一類: 上限或/和下限為無限
第二類: 被積函數的區間中,一些點為無限

瑕积分 (improper integral)是被积函数带有瑕点广义积分

\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x
\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x\qquad \lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x

定义1[编辑]

函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.取t>a,如果极限

\lim_{t \to a^+}\int_{t}^{b}f(x)dx

存在,则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分

瑕积分仍然记作\int_{a}^{b}f(x)dx

定义2[编辑]

设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为f(x)的瑕点。取t<b,如果极限

\lim_{t \to b^-}\int_{a}^{t}f(x)dx

存在,则称此极限为函数f(x)在[a,b)上的反常积分。

定义3[编辑]

设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外上连续,点c为f(x)的瑕点。如果两个瑕积分

\int_{a}^{c}f(x)dx\int_{c}^{b}f(x)dx

都收敛,则定义

\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{c}f(x)+\int_{c}^{b}f(x)

参见[编辑]