歐幾里得整環

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抽象代數中,歐幾里得整環Euclidean domain)是一種能作輾轉相除法整環。凡歐幾里得整環必為主理想環

定義[编辑]

一個歐幾里得整环是一整環 D 及函數 v: D \setminus \{0\} \to \N \cup \{0\},使之滿足下述性質:

  • a, b \in Db \neq 0,則存在 q, r \in D 使得 a = bq+r,而且或者 r=0,或者 v(r) < v(b)
  • a 整除 b,則 v(a) \leq v(b)

函數 v 可設想成元素大小的量度,當 D=\Z 時可取 v(x) := |x|

例子[编辑]

歐幾理得整環的例子包括了:

利用輾轉相除法(定義中的第一條性質),可以證明歐幾里得環必為主理想环,此時理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一個推論:歐幾里得整環必為唯一分解環

並非所有主理想環都是歐幾里得整環,Motzkin 證明了 \mathbb{Q}[\sqrt{d}]整數環在 d=-19,-43,-67,-163 時並非歐幾里得整環,卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

文獻[编辑]

  • Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
  • Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
  • Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76