代數數

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數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數的底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

代數數是滿足整係數代數方程的數。這即是說若$x\,$是一個代數數，那麼必然存在整数$a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 (n\geq 1,a_n\neq 0)$令$x\,$是以下方程的根：

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$

不是代数数的复数称为超越数，例如圆周率。

例子

• 有理数，也就是可以表示为$\frac{b}{a}\,$（$b\,$和$a\,$均为整数且不为零）的数，满足以上的定义，因为$x=-\frac{b}{a}\,$是方程$ax+b=0\,$的根。
• 有些无理数也是代数数，而有些则不是：

• 数$\sqrt{2}$和$\sqrt[3]{3}$是代数数，因为它们分别是方程$x^2-2=0\,$和$x^3-3=0\,$的根。
• 黄金分割比$\phi\,$也是代数数，因为它$x^2-x-1=0\,$的根。
• π和e不是代数数（参见林德曼-魏尔斯特拉斯定理），因此它们是超越数。

• 规矩数，也就是可以用直尺和圆规作出的线段的长度，例如$2\,$的平方根，都是代数数。
• 二次无理数，也就是二次方$ax^2+bx+c=0\,$的根，是代数数。
• 高斯整数—形$a+b{\rm{i}}\,$的数，其中$a\,$和$b\,$都是整数，也是代数数。

性质

• 代数数的集合是可数的。
• 因此，代数数集合的勒贝格测度为零（作为复数的一个子集），也就是说，“几乎所有”的复数都不是代数数。
• 给定一个代数数，存在唯一的最低次数的有理系数首一多项式，使得该代数数是该多项式的根。这个多项式称为极小多项式。如果极小多项式的次数为$n\,$，则该代数数称为$n\,$次的。一次的代数数是有理数。
• 所有的代数数都是可计算数，因此是可定义数。

代数数域

两个代数数的和、差、积与商也是代数数，因此代数数构成了一个域，有时记为$\mathbb{A}$或$\overline{\mathbb{Q}}$。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数的最小的代数封闭域，因此称为有理数的代数闭包。

由根式定义的数

任何可以从整数通过有限次四则运算和开$n\,$次方（其中$n\,$是正整数）得到的数都是代数数。然而，反过来不成立：有些代数数不能用这种方法得出。所有这些代数数都是高于五次的多项式的解。这是伽罗瓦理论的一个结果（参见五次方程和阿贝尔-鲁菲尼定理）。一个例子是$x^5-x-1=0\,$的唯一的根（大约为$1.167303978261418684256\,$）。

代数整数

代数整数是满足整系数首一多项式（第一项为$1\,$）的根的数。代数整数的例子包括$3\sqrt2+5\,$、$6{\rm{i}}-2\,$，以及 $\frac{1+\sqrt3{\rm{i}}}{2}\,$ 两个代数整数的和、差与积也是代数整数，这就是说，代数整数构成了一个环。代数整数的名称的由来，是因为唯一的既是有理数又是代数整数的数是整数，且任何数域中的代数整数与整数有许多相似之处。如果K是一个数域，那么它的整数环就是K中的代数整数的子环，经常记为O_K。这些是戴德金整环的典型例子。

参考文献

• Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall. 1991, MR1129886, ISBN 0-13-004763-5 
• Ireland, Kenneth; Vosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84. Second, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1990, MR1070716, ISBN 0-387-97329-X 
• G. H. Hardy and E. M. Wright 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211. 4th, Springer-Verlag. 2004, ISBN 0-387-95385-X 
• Orestein Ore 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)