除數函數

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數論上,除數函數是一類算術函數

除數函數\sigma_x(n)定義為n的正因數的x次冪之和,即

\sigma_x(n) = \sum_{d|n} d^x

其中一些特殊情況:

  • \sigma_0(n)n的正因數的數目
  • \sigma_1(n)n的正因數之和(包括自己)


σx(n)的值
n / x 0 1 2
1 1 1 1
2 2 3 5
3 2 4 10
4 3 7 21
5 2 6 26
10 4 18 130
12 6 28 210
20 6 42 546
25 3 31 651

性質[编辑]

  • \sigma_x(n)都是積性函數,但不是完全積性。
  • \sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1},而這等式與
\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = 
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x})
相等,\prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = 
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x})
n的各因數的x次方後的和,此式在x=1時即為n包括n本身在內的各因數的和。
  • \sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}
  • \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)
  • \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.

參考[编辑]

  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9