卡塔蘭猜想

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卡塔蘭猜想是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭（Eugène Charles Catalan）在1844年提出的一個數論的猜想。它是說除了8 = 2³，9 = 3²，沒有兩個連續整數都是正整數的幂；以數學方式表述為：不定方程x^a − y^b = 1的大於1的正整數x,y,a,b只有唯一解x = 3,y = 2,a = 2,b = 3。

也可以叫“8--9”猜想。

2002年4月，帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫（Preda Mihăilescu）證明了這猜想，所以它現在是定理了。這個證明由尤里·比盧（Yuri Bilu）檢查，大幅使用了分圓域和伽羅華模。

與卡塔蘭猜想相似的有费馬大定理。

[编辑] 歷史

在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。

• 1320年左右，萊維·本·熱爾松（Levi ben Gerson，1288年—1344年）證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
• 莱昂哈德·歐拉證明，x² - y³ = 1只有一解：x = 3,y = 2。
• 勒貝格證明了方程x^a - y² = 1，a > 1 沒有正整數解。
• 1965年柯召證明方程x² - y^b = 1，b > 1 只有一個解。

於是卡塔蘭猜想只餘下a,b為奇素数的情況。

• 1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特（Maurice Mignotte）也對這猜想作出貢獻。

皮萊（Pillai）猜想：把卡塔蘭猜想一般化，推測正整數的冪之間的差趨向無限大；換句話說，對任何正整數，僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。