圆内接四边形

各种圆内接四边形

在几何中，圆内接四边形是四边形的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。换句话说，圆内接四边形是由共圆的四点依次连成的多边形。

性质

在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。

如图，ABCD为圆内接四边形，托勒密定理指出：$BD.AC = AB.CD + BC.AD$。

托勒密定理指出，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形。

凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是相似的。如右图中，P是圆内接四边形ABCD的两对角线交点，则三角形ABP相似于三角形DCP，三角形BCP相似于三角形ADP。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的$P$），那么其中一条对角线被点$P$所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点$P$所分成的两段的长度之乘积：$AP \times CP = BP \times DP$。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点$P$，且三角形ABP相似于三角形DCP（或三角形BCP相似于三角形ADP，或$AP \times CP = BP \times DP$），那么四边形ABCD是圆内接四边形。

在四边形中，矩形、正方形都是圆内接四边形；筝形和梯形可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形，那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形，那么它是一个等腰梯形。如果一个筝形是圆内接四边形，那么它至少有一对对角是直角。

面积

在已知四边的边长时，圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出。若圆内接四边形的四边边长分别是a, b, c, d，则其面积为：

$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

其中s為半周长：

$s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

可以证明，在所有周长为定值$2s$的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。

参见

• 圆内接多边形
• 婆羅摩笈多公式
• 婆羅摩笈多定理：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
• 外接圆

外部链接

• （英文）体验圆内接四边形
• （英文）关于圆内接四边形的一个定理