圆内接四边形

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各种圆内接四边形

几何中,圆内接四边形四边形的一种。顾名思义,圆内接四边形的四个顶点都在同一个上。换句话说,圆内接四边形是由共圆的四点依次连成的多边形

性质[编辑]

在一个圆内接四边形中,相对的两内角是互补的,它们度数之和为180[1]。与此等价的说法是,圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。

如图,ABCD为圆内接四边形,托勒密定理指出:\begin{matrix}BD\cdot AC\\ = AB\cdot CD + BC\cdot DA.\end{matrix}

托勒密定理指出,圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积(如右图)。对于非退化的四边形,如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积,那么必定是圆内接四边形[2]

凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形,那么相对的两个三角形是相似的。如右图中,P是圆内接四边形ABCD的两对角线交点,则三角形ABP相似于三角形DCP,三角形BCP相似于三角形ADP。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理:设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的P),那么其中一条对角线被点P所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点P所分成的两段的长度之乘积:AP \times CP = BP \times DP。相应的逆命题也成立:如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点P,且三角形ABP相似于三角形DCP(或三角形BCP相似于三角形ADP,或AP \times CP = BP \times DP),那么四边形ABCD是圆内接四边形。

在四边形中,矩形正方形都是圆内接四边形;筝形梯形可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形,那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形,那么它是一个等腰梯形。如果一个筝形是圆内接四边形,那么它至少有一对对角是直角。

面积[编辑]

在已知四边的边长时,圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出[3]。若圆内接四边形的四边边长分别是a, b, c, d,则其面积为:

\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

其中p半周长

p=\frac{a+b+c+d}{2}.

可以证明,在所有周长为定值2p的圆内接四边形中,面积最大的是正方形。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 欧几里得,《几何原本》第三章,命题22
  2. ^ 樂嗣康,托勒密(Ptolemy) 定理與“三弦定理”的關係,《數學傳播》26卷1期
  3. ^ 蔡聰明,談求面積的 Pick 公式

外部链接[编辑]