十二边形

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正十二邊形
Regular polygon 12 annotated.svg
一個正十二邊形
類型 正多邊形
12
頂點 12
對角線 54
施萊夫利符號 {12}
t{6}
考克斯特圖 CDW ring.svgCDW 12.svgCDW dot.svg
對稱群 二面體群 (D12), order 2×12
面積 12
4.
a2cotπ.
12

11.196152422707a2
內角 150°
內角和 1800°
對偶 正十二邊形 (本身)
特性 圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形isotoxal

十二邊形,是有12條的平面圖形。正十二邊形跟等邊三角形,或跟正方形正六邊形,可以密鋪平面

設邊長為a,正12邊形的面積為3(2+\sqrt{3})a^2 \approx 11.1962 a^2 三国时代数学家刘徽计算出半径为r的圆形,其内接正12边形的面积为3r^2正十二边形面积等于最长对角线平方的四分之三。

一般的十字形為不規則的12邊形。

日常生活[编辑]

  • 澳大利亞元的50分硬币形狀為正12邊形。
  • 澳門幣五圓和二毫的形状为正12邊形
  • 二毫二元港币的形状为正12邊形(严格地说,是每边向内凹陷的正十二边形)
  • 嵩岳寺塔的底為正12邊形。
以尺規作圖作出正12邊形。

尺規作圖[编辑]

Regular Dodecagon Inscribed in a Circle.gif

密鋪平面[编辑]

這裡有3種包含正12邊形密舖平面:

Tile 3bb.svg
截角六邊形鑲嵌3.12.12
Tile 46b.svg
大斜方截半六邊形鑲嵌: 4.6.12
Dem3343tbc.gif
六角化大斜方截半六邊形鑲嵌:
3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

Petrie多邊形[编辑]

十二邊形經常出現在高維多面體正交投影Petrie多邊形

24-cell graph.svg
24-cell (4D)
6-cube graph.svg
6-cube (6D)
6-orthoplex.svg
6-orthoplex (6D)
E6 graph.svg
221 (6D)
7-demicube.svg
7-demicube (7D)
11-simplex t0.svg
11-simplex (11D)

參見[编辑]

十二律与角度对照表[编辑]

音名 十二律 唱名 对应角度 与C构成音程 是否协和 与C的频率
C 黄钟 do 0零角 纯一度 极完全协和 1
#C/bD 大吕 do、re 30度(锐角 增一度/小二度 极不协和 1.059463094359295264561825
D 太蔟 re 60锐角 大二度 不协和 1.122462048309372981433533
#D/bE 夹钟 升do、降re 90度(直角 增二度/小三度 极不协和/不完全协和 1.189207115002721066717500
E 姑洗(xiǎn) mi 120钝角 大三度 不完全协和 1.259921049894873164767211
F 仲吕 fa 150钝角 纯四度 完全协和 1.334839854170034364830832
#F/bG 蕤宾 升fa、降sol 180度(平角 增四度/减五度 极不协和 1.414213562373095048801689
G 林钟 sol 210优角 纯五度 完全协和 1.498307076876681498799281
#G/bA 夷则 升sol、降la 240度(优角 增五度/小六度 极不协和/不完全协和 1.587401051968199474751706
A 南吕 la 270优角 大六度 不完全协和 1.681792830507429086062251
#A/bB 无射(yì) 升la、降si 300度(优角 增六度/小七度 极不协和/不协和 1.781797436280678609480452
B 应钟 si 330优角 大七度 极不协和 1.887748625363386993283826
c 黄钟 do 360周角 纯八度 极完全协和 2

五度圈的关系[编辑]

在十二个顶点上标记了音名的正十二边形上从0度的顶点(即C音所在的顶点)上沿顺时针150度角或逆时针210度角不断地画线段,画完12条线段之后就会又回到原来的C上,形成了一个正十二角星,因为逆时针210度代表升高7个半音,即上方纯五度;而顺时针150度代表降低5个半音,即下方纯四度,这点与三分损益律相似,但三分损益律是基于五度相生律,不能转调;而这个正十二边形则是基于十二平均律,可以转调。[1]

倘若在五度圈上画正十二角星,那么得到的音的顺序就是从C开始,每往后一个音都比前面的音高一个半音,这点与十二音相同。

既然十二音与五度圈是相对的关系,那么正十二边形与正十二角星就也是相对的关系。

注释[编辑]

  1. ^ 五度圈也可以叫四度圈