商空间 (线性代数)

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线性代数中,一个向量空间V被一个子空间N是将N“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间quotient space),记作V/N(读作 VN)。

定义[编辑]

正式地,此构造如下(Halmos 1974,§21-22)。设VK上一个向量空间,设NV的一个子空间。我们定义在V上定义一个等价类~,如果xyN则令x ~ y。即如果其中一个加上N中一个元素得到另一个,则xy相关。x的所在等价类通常记作

[x] = x + N

因为它由

[x] = {x + n : nN}给出。

那么商空间V/N定义为V/~,V在~下所有等价类集合。等价类上的数乘与加法定义为

  • α[x] = [αx]对所有α ∈ K,以及
  • [x] + [y] = [x+y]。

不难验证这些运算是良定义的(即与代表元之选取无关)。这些运算将商空间V/N转化为K上一个向量空间,N成为零类[0]。

例与性质[编辑]

X = R2为标准笛卡儿平面YX中过原点的一条直线。则商空间X/Y可与X中与Y平行的所有直线等价。这就是讲,集合X/Y的元素是X中平行于Y的元素。这给出了以一种几何的方式看商空间的方法。

另一个例子是Rn被前m个标准基向量张成的子空间的商。空间Rn有所有实数n-元组 (x1,…,xn)组成。子空间,与Rm等价,由只有前m元素是非零 (x1,…,xm,0,0,…,0)的所有n-元组组成。Rn的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后nm个坐标相等。商空间Rn/ Rm显然地同构Rnm

更一般地,如果V写成子空间UW的一个(内部)直和

V=U\oplus W

则商空间V/U自然同构于WHalmos 1974,Theorem 22.1)。

如果UV的一个子空间,UV中的餘维数定义为V/U维数。如果V有限维的,这就是VU的维数之差(Halmos 1974,Theorem 22.2):

\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).

V到商空间V/U有一个自然满射,将x送到它的等价类[x]。这个满射的(或零空间)是子空间U。此关系简单地总结为短正合序列

0\to U\to V\to V/U\to 0.\,

T : VW是一个线性算子T的核,记作ker(T),是所有xV使得Tx = 0的集合。核是V的一个子空间。线性代数第一同构定理说商空间V/ker(T)同构于VW中的像。一个直接推论,对有限维空间的秩-零化度定理V的维数等于核的维数(T的零化度)加上像的维数(T的秩)。

线性算子T : VW余核定义为商空间W/im(T)。

巴拿赫空间的商空间[编辑]

如果X是一个巴拿赫空间MX的一个子空间,则商X/M仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义X/M上一个范数

 \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X.

商空间X/M关于此范数是完备的,所以是一个巴拿赫空间。

例子[编辑]

C[0,1]表示区间[0,1]上连续实值函数的巴拿赫空间。记所有函数fC[0,1]使得f(0) = 0的子空间为M。则某个函数g的等价类由它在0点的值决定,商空间C[0,1]/M同构于R

如果X是一个希尔伯特空间,则商空间X/M同构于M正交补

推广到局部凸空间[编辑]

局部凸空间被一个闭子空间商还是局部凸的(Dieudonné 1970,12.14.8)。事实上,假设X是局部凸的所以X上的拓扑由一族半范数{pα|α∈A}生成,这里A是一个指标集。设M是一个闭子空间,定义X/M上半范数qα

q_\alpha([x]) = \inf_{x\in [x]} p_\alpha(x).

X/M是一个局部凸空间,上面的拓扑是商拓扑

进一步,若X可度量化的,则 X/M也是;如果X弗雷歇空间X/MDieudonné 1970,12.11.3)也是。

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]