商空间 (线性代数)

在线性代数中，一个向量空间 V 被一个子空间 N 的商是将 N “坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间（quotient space），记作 V/N （读作 V 模 N）。

定义

正式地，此构造如下 Halmos, 缺乏參考資料名稱, §21-22. 1974 。设 V 是域 K 上一个向量空间，设 N 是 V 的一个子空间。我们定义在 V 上定义一个等价类 ~，如果 x − y ∈ N 则令 x ~ y。即如果其中一个加上 N 中一个元素得到另一个，则 x 与 y 相关。x 的所在等价类通常记作

[x] = x + N，

因为它由

[x] = {x + n : n ∈ N} 给出。

那么商空间 V/N 定义为 V/~，V 在 ~ 下所有等价类集合。等价类上的数乘与加法定义为

• α[x] = [αx] 对所有 α ∈ K，以及
• [x] + [y] = [x+y]。

不难验证这些运算是良定义的（即与代表元之选取无关）。这些运算将商空间 V/N 转化为 K 上一个向量空间，N 成为零类 [0]。

例与性质

令 X = R² 为标准笛卡儿平面，Y 是 X 中过原点的一条直线。则商空间 X/Y 可与 X 中与 Y 平行的所有直线等价。这就是讲，集合 X/Y 的元素是 X 中平行于 Y 的元素。这给出了以一种几何的方式看商空间的方法。

另一个例子是 Rⁿ 被前 m 个标准基向量张成的子空间的商。空间 Rⁿ 有所有实数 n-元组 (x₁,…,x_n) 组成。子空间，与 R^m 等价，由只有前 m 元素是非零 (x₁,…,x_m,0,0,…,0) 的所有 n-元组组成。Rⁿ 的两个向量在模去这个子空间的同一个共轭类中当且仅当他们的后 n − m 个坐标相等。商空间 Rⁿ/ R^m 显然地同构于 R^n−m。

更一般地，如果 V 写成子空间 U 与 W 的一个（内部）直和：

$V=U\oplus W$

则商空间 V/U 自然同构于 W Halmos, 缺乏參考資料名稱, Theorem 22.1. 1974 。

如果 U 是 V 的一个子空间，U 在 V 中的餘维数定义为 V/U 的维数。如果 V 是有限维的，这就是 V 与 U 的维数之差 Halmos, 缺乏參考資料名稱, Theorem 22.2. 1974 ：

$\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).$

从 V 到商空间 V/U 有一个自然满射，将 x 送到它的等价类 [x]。这个满射的核（或零空间）是子空间 U。此关系简单地总结为短正合序列

$0\to U\to V\to V/U\to 0.\,$

令 T : V → W 是一个线性算子。T 的核，记作 ker(T)，是所有 x ∈ V 使得 Tx = 0 的集合。核是 V 的一个子空间。线性代数第一同构定理说商空间 V/ker(T) 同构于 V 在 W 中的像。一个直接推论，对有限维空间的秩-零化度定理：V 的维数等于核的维数（T 的零化度）加上像的维数（T 的秩）。

线性算子 T : V → W 的余核定义为商空间 W/im(T)。

巴拿赫空间的商空间

如果 X 是一个巴拿赫空间而 M 是 X 的一个闭子空间，则商 X/M 仍是一个巴拿赫空间。上一节已经给出商空间一个向量空间结构。我们定义 X/M 上一个范数为

$\| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X.$

商空间 X/M 关于此范数是完备的，所以是一个巴拿赫空间。

例子

令 C[0,1] 表示区间 [0,1] 上连续实值函数的巴拿赫空间。记所有函数 f ∈ C[0,1] 使得 f(0) = 0 的子空间为 M。则某个函数 g 的等价类由它在 0 点的值决定，商空间 C[0,1]/M 同构于 R。

如果 X 是一个希尔伯特空间，则商空间 X/M 同构于 M 的正交补。

推广到局部凸空间

局部凸空间被一个闭子空间商还是局部凸的 Dieudonné, 缺乏參考資料名稱, 12.14.8. 1970 。事实上，假设 X 是局部凸的所以 X 上的拓扑由一族半范数 {p_α|α∈A} 生成，这里 A 是一个指标集。设 M 是一个闭子空间，定义 X/M 上半范数 q_&alpha 为

$q_\alpha([x]) = \inf_{x\in [x]} p_\alpha(x).$

则 X/M 是一个局部凸空间，上面的拓扑是商拓扑。

进一步，若 X 是可度量化的，则 X/M也是；如果X 是弗雷歇空间，X/M Dieudonné, 缺乏參考資料名稱, 12.11.3. 1970  也是。

相关条目

• 商集合
• 商群
• 商模
• 商空间（拓扑中）

参考文献

• Halmos, Paul, Finite dimensional vector spaces, Springer. 1974, ISBN 978-0387900933 .
• Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume II, Academic Press. 1970 .