平截头体

平截头体

例如：五边平截头体与方平截头体
面	n 个梯形, 2 n'边形
棱	3n
顶点	2n
Symmetry group	Cnv, [1,n], (*nn)
Properties	凸多面体

几何学上，平截头体又称锥台，指的是圆锥或棱锥被两个平行平面所截后，位于两个平行平面之间的立体。根据所截的是圆锥还是棱锥，可分为圆台与棱台。

公式

体积公式

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积：

$V = \frac{h_2 B_2 - h_1 B_1}{3}$

B₁ 指一个底面的面积，B₂指另一个底面的面积, and h₁， h₂ 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到

$\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}$

这个体积也可用平截头体的高 h = h₂−h₁ 与两底面面积的希罗平均数表达：

$V = \frac{h}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1 B_2})$

亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。

特别地， 圆台的体积是

$V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1 R_2)$

π 等于 3.14159265...，'R₁, R₂ 是两底面的半径。

底面为n边形的棱台的体积是

$V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_2^2+a_1a_2)\cot \frac{180}{n}$

a₁ 与 a₂ 是底面的边长。

表面积公式

对于一个正圆台，

$\begin{align}\text{Lateral Surface Area}&=\pi(R_1+R_2)s\\ &=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}$

$\begin{align}\text{Total Surface Area}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\ &=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}$

Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，R₁ and R₂ 为底面半径，s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

$A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]$

a₁ 与 a₂是两底面的边长。

链接

维基词典上的词义解释：

frustum

• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• 埃里克·韦斯坦因, Pyramidal frustum at MathWorld
• 埃里克·韦斯坦因, Conical frustum at MathWorld
• Paper models of frustums (truncated pyramids)
• Paper model of frustum (truncated cone)
• Design paper models of conical frustum (truncated cones)