平截头体

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几何学上,平截头体又称锥台,指的是圆锥棱锥被两个平行平面所截后,位于两个平行平面之间的立体。根据所截的是圆锥还是棱锥,可分为圆台棱台

公式[编辑]

体积公式[编辑]

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积:

V = \frac{h_2 B_2 - h_1 B_1}{3}

B1 指一个底面的面积,B2指另一个底面的面积, and h1h2 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到

\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}

这个体积也可用平截头体的高 h = h2h1 与两底面面积的希罗平均数表达:

V = \frac{h}{3}(B_1+B_2+\sqrt{B_1 B_2})

亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。[1]

特别地, 圆台的体积是

V = \frac{\pi h}{3}(R_1^2+R_2^2+R_1 R_2)

π 等于 3.14159265...,'R1, R2 是两底面的半径

Pyramidal frustum.

底面为n边形的棱台的体积是

V= \frac{n h}{12} (a_1^2+a_2^2+a_1a_2)\cot \frac{180}{n}

a1a2 是底面的边长。

表面积公式[编辑]

对于一个正圆台,[2]

\begin{align}\text{Lateral Surface Area}&=\pi(R_1+R_2)s\\
&=\pi(R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}\end{align}
\begin{align}\text{Total Surface Area}&=\pi((R_1+R_2)s+R_1^2+R_2^2)\\
&=\pi((R_1+R_2)\sqrt{(R_1-R_2)^2+h^2}+R_1^2+R_2^2)\end{align}

Lateral Surface Area指侧面积,Total Surface Area指总面积,R1 and R2 为底面半径,s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

A= \frac{n}{4}\left[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right]

a1a2是两底面的边长。

参考资料[编辑]

  1. ^ Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998
  2. ^ Mathwords.com: Frustum. [17 July 2011]. 

链接[编辑]

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