约翰逊多面体

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J37異相双四角台塔柱是唯一一個點正的:每個頂點都是三個正方形和一個等邊三角形。
J92三角廣底球形屋根丸塔是唯一一個擁有3,4,5,6邊形面的
J6正五角丸塔,它是半正多面體截半二十面體的一半

Johnson多面體,有譯作约翰逊多面体莊遜多面體,是指正多面體半正多面體、柱體、反角柱之外,所有由正多邊形面組成的凸多面體。這些立體由詹森·諾曼(Norman Johnson)在1966年命名;1969年,查加勒·維克托(Виктор Абрамович Залгаллер)證明只有92個這樣的立體。

  • 因為在一個頂點相遇的面,每個面在該頂點的角的角度之和,不大於360°,又因為正多邊形的內角至少為60°,故每點最多有五個面在同一頂點。
  • 所有Johnson多面體的面都是3, 4, 5, 6, 8或10邊形。

分類[编辑]

Johnson多面體的構成方法之一是將其他由正多邊形面組成的凸多面體和下面幾種立體的拼合:

另一種方法就是將這個凸多面體「切除」或「加上」一些立體。如:小斜方截半二十面體欠一側帳塔(J76)。

有八個Johnson多面體不能以這些方法取得。如:球形屋根(J86)及其它

立體介紹[编辑]

共有92種立體列於下表,表中Jn代表編號,V為頂點數,E為邊數,F為面數。

棱錐及塔[编辑]

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
1 正四角錐 Square pyramid.png 5 8 5 4 1 C4v
2 正五角錐 Pentagonal pyramid.png 6 10 6 5 1 C5v
3 正三角台塔 Triangular cupola.png 9 15 8 4 3 1 C3v
4 正四角台塔 Square cupola.png 12 20 10 4 5 1 C4v
5 正五角台塔 Pentagonal cupola.png 15 25 12 5 5 1 1 C5v
6 正五角丸塔 Pentagonal rotunda.png 20 35 17 10 6 1 C5v

錐柱及雙錐[编辑]

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
7 正三角錐柱 Elongated triangular pyramid.png 7 12 7 4 3 C3v
8 正四角錐柱 Elongated square pyramid.png 9 16 9 4 5 C4v
9 正五角錐柱 Elongated pentagonal pyramid.png 11 20 11 5 5 1 C5v
10 正四角錐反角柱 Gyroelongated square pyramid.png 9 20 13 12 1 C4v
11 正五角錐反角柱 Gyroelongated pentagonal pyramid.png 11 25 16 15 1 C5v
12 雙三角錐 Triangular dipyramid.png 5 9 6 6 D3h
13 雙五角錐 Pentagonal dipyramid.png 7 15 10 10 D5h
14 雙三角錐柱 Elongated triangular dipyramid.png 8 15 9 6 3 D3h
15 雙四角錐柱 Elongated square dipyramid.png 10 20 12 8 4 D4h
16 雙五角錐柱 Elongated pentagonal dipyramid.png 12 25 15 10 5 D5h
17 雙四角錐反角柱 Gyroelongated square dipyramid.png 10 24 16 16 D4d

台塔柱及丸柱[编辑]

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
18 正三角台塔柱 Elongated triangular cupola.png 15 27 14 4 9 1 C3v
19 正四角台塔柱 Elongated square cupola.png 20 36 18 4 13 1 C4v
20 正五角台塔柱 Elongated pentagonal cupola.png 25 45 22 5 15 1 1 C5v
21 正五角丸塔柱 Elongated pentagonal rotunda.png 30 55 27 10 10 6 1 C5v
22 正三角台塔反角柱 Gyroelongated triangular cupola.png 15 33 20 16 3 1 C3v
23 正四角台塔反角柱 Gyroelongated square cupola.png 20 44 26 20 5 1 C4v
24 正五角台塔反角柱 Gyroelongated pentagonal cupola.png 25 55 32 25 5 1 1 C5v
25 正五角丸塔反角柱 Gyroelongated pentagonal rotunda.png 30 65 37 30 6 1 C5v
26 異相雙三角柱 Gyrobifastigium.png 8 14 8 4 4 D2d
27 同相雙三角台塔 Triangular orthobicupola.png 12 24 14 8 6 D3h
28 同相雙四角台塔 Square orthobicupola.png 16 32 18 8 10 D4h
29 異相雙四角台塔 Square gyrobicupola.png 16 32 18 8 10 D4d
30 同相雙五角台塔 Pentagonal orthobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5h
31 異相雙五角台塔 Pentagonal gyrobicupola.png 20 40 22 10 10 2 D5d
32 同相五角台塔丸塔 Pentagonal orthocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
33 異相五角台塔丸塔 Pentagonal gyrocupolarotunda.png 25 50 27 15 5 7 C5v
34 同相雙五角丸塔 Pentagonal orthobirotunda.png 30 60 32 20 12 D5h
35 同相雙三角台塔柱 Elongated triangular orthobicupola.png 18 36 20 8 12 D3h
36 異相雙三角台塔柱 Elongated triangular gyrobicupola.png 18 36 20 8 12 D3d
37 異相双四角台塔柱 Elongated square gyrobicupola.png 24 48 26 8 18 D4d
38 同相雙五角台塔柱 Elongated pentagonal orthobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5h
39 異相雙五角台塔柱 Elongated pentagonal gyrobicupola.png 30 60 32 10 20 2 D5d
40 同相五角台塔丸塔柱 Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
41 異相五角台塔丸塔柱 Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png 35 70 37 15 15 7 C5v
42 同相雙五角丸塔柱 Elongated pentagonal orthobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5h
43 異相雙五角丸塔柱 Elongated pentagonal gyrobirotunda.png 40 80 42 20 10 12 D5d
44 雙三角台塔反角柱 Gyroelongated triangular bicupola.png 18 42 26 20 6 D3
45 雙四角台塔反角柱 Gyroelongated square bicupola.png 24 56 34 24 10 D4
46 雙五角台塔反角柱 Gyroelongated pentagonal bicupola.png 30 70 42 30 10 2 D5
47 五角台塔丸塔反角柱 Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png 35 80 47 35 5 7 C5
48 双五角丸塔反角柱 Gyroelongated pentagonal birotunda.png 40 90 52 40 12 D5

側錐柱體[编辑]

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
49 側錐三角柱 Augmented triangular prism.png 7 13 8 6 2 C2v
50 二側錐三角柱 Biaugmented triangular prism.png 8 17 11 10 1 C2v
51 三側錐三角柱 Triaugmented triangular prism.png 9 21 14 14 D3h
52 側錐五角柱 Augmented pentagonal prism.png 11 19 10 4 4 2 C2v
53 二側錐五角柱 Biaugmented pentagonal prism.png 12 23 13 8 3 2 C2v
54 側錐六角柱 Augmented hexagonal prism.png 13 22 11 4 5 2 C2v
55 雙側錐六角柱 Parabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 D2h
56 二側錐六角柱 Metabiaugmented hexagonal prism.png 14 26 14 8 4 2 C2v
57 三側錐六角柱 Triaugmented hexagonal prism.png 15 30 17 12 3 2 D3h

側錐正多面體[编辑]

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
58 側錐正十二面体 Augmented dodecahedron.png 21 35 16 5 11 C5v
59 雙側錐正十二面体 Parabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 D5d
60 二側錐正十二面体 Metabiaugmented dodecahedron.png 22 40 20 10 10 C2v
61 三側錐正十二面体 Triaugmented dodecahedron.png 23 45 24 15 9 C3v
62 正二十面體欠二側錐 Metabidiminished icosahedron.png 10 20 12 10 2 C2v
63 正二十面體欠三側錐 Tridiminished icosahedron.png 9 15 8 5 3 C3v
64 側錐正二十面體欠三側錐 Augmented tridiminished icosahedron.png 10 18 10 7 3 C3v

側台塔半正多面體[编辑]

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
65 側台塔截角四面體 Augmented truncated tetrahedron.png 15 27 14 8 3 3 C3v
66 側台塔截角立方體 Augmented truncated cube.png 28 48 22 12 5 5 C4v
67 雙側台塔截角立方體 Biaugmented truncated cube.png 32 60 30 16 10 4 D4h
68 側台塔截角十二面體 Augmented truncated dodecahedron.png 65 105 42 25 5 1 11 C5v
69 雙側台塔截角十二面體 Parabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 D5d
70 二側台塔截角十二面體 Metabiaugmented truncated dodecahedron.png 70 120 52 30 10 2 10 C2v
71 三側台塔截角十二面體 Triaugmented truncated dodecahedron.png 75 135 62 35 15 3 9 C3v
72 側台塔小斜方截半二十面體 Gyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C5v
73 雙側台塔小斜方截半二十面體 Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 D5d
74 二側台塔小斜方截半二十面體 Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C2v
75 三側台塔小斜方截半二十面體 Trigyrate rhombicosidodecahedron.png 60 120 62 20 30 12 C3v
76 小斜方截半二十面體欠一側台塔 Diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
77 雙側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔 Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 C5v
78 側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔 Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
79 二側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔 Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png 55 105 52 15 25 11 1 Cs
80 小斜方截半二十面體欠雙側台塔 Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 D5d
81 小斜方截半二十面體欠二側台塔 Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 C2v
82 側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔 Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png 50 90 42 10 20 10 2 Cs
83 小斜方截半二十面體欠三側台塔 Tridiminished rhombicosidodecahedron.png 45 75 32 5 15 9 3 C3v

其它[编辑]

此九個Johnson多面體不能以切除、增加角錐、台塔、丸塔等方法取得。本段有些立體尚未有中文譯名,故暫採日本譯名。

Jn 名稱 圖像 V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 點群
84 變稜雙五角椎
(Siamese dodecahedron)
Snub disphenoid.png 8 18 12 12 D2d
85 變稜四角反角柱
(Snub square antiprism)
Snub square antiprism.png 16 40 26 24 2 D4d
86 球形屋根
(Sphenocorona)
Sphenocorona.png 10 22 14 12 2 C2v
87 側錐球形屋根
(Augmented sphenocorona)
Augmented sphenocorona.png 11 26 17 16 1 Cs
88 加長型球形屋根
(Sphenomegacorona)
Sphenomegacorona.png 12 28 18 16 2 C2v
89 廣底加長型球形屋根
(Hebesphenomegacorona)
Hebesphenomegacorona.png 14 33 21 18 3 C2v
90 五角錐球形屋根
(Disphenocingulum)
Disphenocingulum.png 16 38 24 20 4 D2d
91 雙新月雙丸塔
(Bilunabirotunda)
Bilunabirotunda.png 14 26 14 8 2 4 D2h
92 三角廣底球形屋根丸塔
(Riangular hebesphenorotunda)
Triangular hebesphenorotunda.png 18 36 20 13 3 3 1 C3v

參考資料[编辑]

  • Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.
  • Victor A. Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN.  The first proof that there are only 92 Johnson solids.

外部連結[编辑]