麥卡托投影法

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墨卡托世界地图(1569年)

麥卡托投影法,又称墨卡托投影法正軸等角圓柱投影,是一種等角的圓柱形地圖投影法。本投影法得名於傑拉杜斯·麥卡托法蘭提斯出身的地理學家地图学家。他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,緯線於任何位置皆垂直相交,使世界地圖可以繪製在一個長方形上。由於可顯示任兩點間的正確方位,航海用途的海圖航路圖大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变,从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变(即等角);但麥卡托投影会使面积产生变形,极点的比例甚至达到了无穷大。

数学计算[编辑]

地图上纵向方位(图中的横轴)和纬度(图中的纵轴)的关系。

下列公式定义在使用麦卡托投影的地图中,从纬线φ经线λ(其中λ0是地图的中央经线)如何推导为坐标系中的坐标xy

这是古德曼函数的逆推导:


\begin{align}
x & = \lambda - \lambda_0 \\
y & = \ln \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right) \\
  & = \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin(\varphi)}{1 - \sin(\varphi)} \right) \\
  & = \sinh^{-1} \left( \tan(\varphi)\right) \\
  & = \tanh^{-1} \left( \sin(\varphi)\right) \\
  & = \ln \left(\tan(\varphi) + \sec(\varphi)\right).
\end{align}

这是古德曼函数:


\begin{align}
\varphi    & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\
        & = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\
\lambda & = x + \lambda_0.
\end{align}

比例尺与纬度φ正割成比例,越趋向极地φ = ±90°)面积变形越大。此外,由公式可知,极点处的y值为正负无穷大。

公式推导[编辑]

麥卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。(实际上并非为正球形,而是有扁率的,但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确,可插入等角纬线。)我们需要将经纬度坐标(λφ)转换为笛卡尔坐标(xy),求以赤道为基准的切柱面投影(即x = λ),并保持形状不变,故:

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}
\frac{\partial y}{\partial \lambda} = -\cos(\varphi) \frac{\partial x}{\partial \varphi}

x = λ 可知

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = 0

给出

1 = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}
0 = \frac{\partial y}{\partial \lambda}

因此,yφ的唯一函数,且可得到y'=\sec\varphi,由积分表

y = \ln(|\sec(\varphi) + \tan(\varphi)|) + C.\,

在地图中φ = 0得到y = 0,所以取C = 0.

以麥卡托投影法繪製的地圖。

参见[编辑]

參考資料[编辑]

  • Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987年. 可至USGS pages下载。
  • Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004年. 
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.