完全格

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数学中,完全格是在其中所有子集都有上确界(并)和下确界(交)的偏序集。完全格出现于数学和计算机科学的很多应用中。作为的特殊实例,在序理论泛代数中都有所研究。

完全格一定不能混淆于完全偏序(cpo),它构成严格的更加一般的一个偏序集合类别。更特殊的完全格是完全布尔代数完全Heyting代数(locale)。

形式定义[编辑]

偏序集合 (L, ≤) 是完全格,如果 L 的所有子集 A 在 (L, ≤) 中都有最大下界(下确界,交)和最小上界(上确界,并)二者。它们被表示为:

\bigwedgeA (交)和 \bigveeA (并)。

注意在 A空集的特殊情况下,L 的任何元素都是空集的上界和下界,A 的交将是 L最大元素。类似的,空集的并生成最小元素。因为定义还确保了二元交和并的存在,完全格因为形成了特殊种类的有界格

上述定义的更多蕴涵在关于序理论中完备性性质的文章中讨论。

例子[编辑]

  • 给定集合的幂集,按包含排序。上确界给出自这些子集的并集而下确界给出自这些子集的交集
  • 单位区间 [0,1] 和扩展的实数轴,通过平常的全序和普通的上确界下确界。实际上,全序集合(带有它的序拓扑)作为拓扑空间紧致的,如果它作为一个格是完全的。
  • 非负整数整除排序。这个格最小元是 1,因为它可以被任何其他数整除。可能另人惊奇,最大元是 0,因为它可以被任何数整除。有限集合的上确界给出自最小公倍數而下确界给出自最大公约数。对于无限集合,上确界将总是 0 而下确界可以大于 1。例如,所有偶数的集合有 2 作为最大公约数。如果从这个结构中去掉 0 它仍是格但不再是完全的。
  • 任何给定群的子群在包含关系下。(尽管这里的下确界是平常的集合论交集,但子群的集合的上确界是子群的集合论并集所生成的子群,而不是集合论并集自身)。如果 eG 的单位元,则平凡的群 {e} 是 G极小子群。而极大子群是群 G 自身。
  • 的子模按包含排序。上确界给出自子模的和而下确界给出自交集。
  • 环的理想子环按包含排序。上确界给出自理想子环的和而下确界给出自交集。
  • 拓扑空间的开集按包含排序。上确界给出自开集的并而下确界给出自交集的内部
  • 实数复数向量空间凸集按包含排序。下确界给出自凸集的交集而上确界给出自并集的凸包
  • 在集合上拓扑按包含排序。下确界给出自拓扑的交集,而上确界给出自拓扑的并集所生成的拓扑。
  • 在集合上的所有传递关系的格。
  • 多重集的子多重集的格。
  • 在集合上的所有等价关系的格;等价关系 ~ 被认为比 ≈ 更小(或"更细"),如果 x~y 总是蕴涵 xy

引用[编辑]

参见[编辑]