单位向量

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数学上,赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”,如:\hat{\imath}欧几里得空间中,两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦(因为它们的长度都是 1)。

一个非零向量 \vec{u}正规化向量 \hat{u} 就是平行于 \vec{u} 的单位向量:

\hat{u} = \frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}

这里 \|\vec{u}\|\vec{u}范数(长度)。概念正规化向量有时候也可以当作单位向量的同义词。一组的元素通常被选为单位向量。在三维直角坐标系中,通常是 \vec{i}\vec{j}\vec{k} 分别为沿着 xyz 方向的单位向量:

\hat{\imath} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix} \hat{\jmath} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \hat{k} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}

注意,在很多文献中,作为单位向量的 ijk 并都是带“帽子”的写法。在别的坐标系中,如极坐标系球坐标系,也使用别的单位向量,符号也会不一样。